数学の問題です。教えてください。 次の３つの条件を満たす2次関数f(x)および実数mを考える。 (i

数学の問題です。教えてください。

次の３つの条件を満たす2次関数f(x)および実数mを考える。
(i) 放物線y=f(x)は、放物線y=x^2を頂点が第4象限にくるように平行移動したものである。
(ii) 放物線y=f(x)は、点(1,-2)を通る。
(iii) 関数f(x)の最小値はmである。　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　このとき、次の各問いに答えよ。
(1) m=-3のとき、f(x)を求めよ。
(2) f(0)=0を満たすf(x)が存在するようなmの値を求めよ。
(3) f(0)≦3を満たすf(x)が存在するようなmの値の範囲を求めよ。
(4) 条件を満たす関数f(x)が２つ存在するようなmの値の範囲を求めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/06/30 18:16

下に凸の放物線なので、頂点で最小値をとります。

よって、頂点のｙ座標はｍです。頂点のx座標をｎとします。
頂点が第4象限にあるので、n>0 , m<0
放物線y=f(x)は、放物線y=x^2を頂点が第4象限にくるように平行移動したものなので、
y=(x-n)²+m とおくことができます。f(x)=(x-n)²+m ……①
点(1,-2) を通るので、
-2=(1-n)²+m……②


(1) m=-3 を②に代入
-2=(1-n)²+(-3)
n²-2n=0
n(n-2)=0
n>0 より、
n=2

よって、①より、
f(x)=(x-2)²+(-3)
=x²-4x+1

(2) f(0)=0 なので、①より、
0=(0-n)²+m
n²+m=0
m=-n²……③
③を②に代入
-2=(1-n)²+(-n²)
2n=3
n=3/2
③に代入
m=-(3/2)²
=-9/4

(3) ①より、
f(0)=(0-n)²+m
=n²+m
f(0)≦3 より、
n²+m≦3……⓸
②より、
m=-2-(1-n)²
⓸に代入
n²+{-2-(1-n)²}≦3
2n≦6
n≦3……⑤

②より、
(1-n)²=-2-m
(n-1)²=-2-m……⑥
⑤より、
n-1≦2
0≦(n-1)²≦4
⑥を代入
0≦-2-m≦4
-4≦2+m≦0
-6≦m≦-2

(4) ⑥より、
-2-m≧0
-2≧m……⑦
このとき、
n-1=±√(-2-m)
n=1±√(-2-m)
n>0 より、 条件を満たす関数f(x)が２つ存在するということは、1+√(-2-m)>0 なので、
1-√(-2-m)>0
1>√(-2-m)
両辺とも正なので2乗して、
1>(-2-m)
m>-3……⑧
⑦、⑧より、求めるｍの値の範囲は、
-3<m≦-2