確率の問題①

お世話になります。
全く解法が思いつかないので、どなたかご教授ください。

問題
天気を晴れ、雨の2通りしかないと考える。A地方ではある日が晴れの時次の日も晴れである確率は3/4である。また、ある日が雨で次の日も雨である確率は1/3である。A地方において今日が晴れだったとき、明日以降の天気について次の問いに答えよ。

（１）n日後に晴れである確率をpnとするとき、pn+1をpnを用いて表せ。

（２）（１）のpnをnの式で表せ。

質問者からの補足コメント

• （１）に関してですが、
  p[n+1]が晴れである確率は、
  pn*3/4 + (1-pn)*2/3
  
  p[n+1]が雨である確率は、
  pn*1/4 + (1-pn)*1/3
  
  という理解で良かったでしょうか。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/06 06:13

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/07/08 19:12

pn は晴れの確率ですから、pn+1 も晴れの確率です。

補足に書かれている前半が正しいです。

pn+1=(3/4)pn +(2/3)(1 - pn)
=(1/12)pn + 2/3
p1=3/4

これより、
pn=(1/44)(1/12)^(n-1) + 8/11

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/05 17:42

（1）p[n+1] = （n日後に晴れであって、かつ、その次の日が晴れである確率）＋（n日後に晴れでなく、かつ、その次の日が晴れである確率）

　= （n日後に晴れである確率）×（ある日が晴れのとき次の日も晴れである確率）＋（n日後に晴れでない確率）×（ある日が晴れでないとき次の日は雨でない確率）
　そして、「晴れでない」は「雨である」と同じ、「雨でない」は「晴れである」と同じ、ということを使う。
（2）線形二項間漸化式を解くだけ。