関数の極値 (導関数が不連続な場合) 次の関数はx=0において極値を持つかどうか、平均値の定理を利用

関数の極値 (導関数が不連続な場合)


次の関数はx=0において極値を持つかどうか、平均値の定理を利用して、どうやって調べられますか。

どなたか教えてくだされば、幸いです〜
よろしくお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/07/06 11:11

-1≦sin(1/x)≦1

α-1≦α+sin(1/x)≦α+1

α≧1の時
x≠0の時
f(x)=x^2{α+sin(1/x)}≧(α-1)x^2≧0=f(0)
だから
f(x)はx=0において極(最)小値0を持つ

α≦-1の時
x≠0の時
f(x)=x^2{α+sin(1/x)}≦(α+1)x^2≦0=f(0)
だから
f(x)はx=0において極(最)大値0を持つ

-1<α<1の時
任意のε>0に対して
n>2/εとなる自然数nが存在する

a=2/{(4n+1)π}
b=2/{(4n-1)π}
とすると
2/ε<n<4n+1<(4n+1)π
2/ε<n<4n-1<(4n-1)π
だから

0<a=2/{(4n+1)π}<ε
0<b=2/{(4n-1)π}<ε

sin(1/a)=sin((4n+1)π/2)=1
sin(1/b)=sin((4n-1)π/2)=-1
だから
f(a)=a^2(α+1)>0
f(b)=b^2(α-1)<0
だから

任意のε>0に対して
0<a<ε
0<b<ε
f(b)<0=f(0)<f(a)
となるa,bがあるから

-1<α<1の時
f(x)はx=0において極値を持たない

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました〜
助かりました ;)

お礼日時：2020/07/07 16:16