[大学数学]数学基礎論の述語論理についての質問

数学基礎論の述語論理における論理的同値についての質問です。
適当に言語Lを取り、MをL構造とします。ここで仮にΦ、ψをともに閉論理式(つまりL文です)としたときには次の(ⅰ),(ⅱ)は同値になるということがテキストに書いてありました。

(ⅰ)すべての構造Mに対して, M ⊨ Φ ⇔ M ⊨ ψ
(ⅱ) ⊨Φ↔ψ

ここで, Φ, ψが閉論理式とは限らないときには同値ではないと書いてあったのですが, (ⅰ)⇒(ⅱ)が成り立たない理由がよくわかりません。((ⅱ)⇒(ⅰ)は常に成り立つことはわかります。)
何か成立しない具体例などありましたら教えていただけないでしょうか?
よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 回答いただきありがとうございます。重ねて質問なのですが、
  例えばどのようなassignmentがありますかね?

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/11 09:19

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/11 10:11

No.2へのコメントについて。

　No.1の例の場合：Mは、個体として考える対象の範囲（議論領域D)、および述語 >(p,q)と <(p,q) （>⊂D×D, <⊂D×D）の意味を定めているわけですが、 (x<0)はどんなMでも充足可能であり、(x>0)はどんなMでも充足可能だと仮定しましょう。つまり、M⊨∃x(x>0) ∧ ∃x(x<0) であるとします。
　さてここで、「>,<をD＝普通の実数上での普通の大小関係だと思うことにする」というMの場合（このMも上記の仮定を満たしています）に限定してみて、さらに開いた式における個体変項への割り当てを考える。すると、たとえばx=-1のassignmentなら (x<0)が充足でき、x=1のassignmentなら (x>0)が充足できるわけですが、 (x>0)と(x<0)を同時に両方とも充足できるassignmentは存在しない。
　そのようなMが少なくともひとつあるとわかったので、⊨(x>0)↔(x<0) は言えない。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/08 15:06

流儀がいろいろあると思うけれども、開論理式の場合には充足可能かどうかを問題にするんじゃないすか。

(x>0)と(x<0)は共に形式上同じ自由変項xを含んでいて、M ⊨ (x>0)とM ⊨ (x<0)とでxへのassignmentが異なる、とか？