大学数学 関数gはRで連続かつ有界とする。この時の以下の極限値を求めて根拠もお願いしたいです。 li

大学数学
関数gはRで連続かつ有界とする。この時の以下の極限値を求めて根拠もお願いしたいです。
lim(α→0) ∫_R {αg(x)/ (x^2+α^2) }dx

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/25 22:21

g が R で連続かつ有界であれば、

lim(α→0) αg(x)/(x^2+α^2) = 0 の収束が x について一様であるから、lim と ∫ の交換が成り立ち
lim(α→0) ∫_R { αg(x)/(x^2+α^2) }dx = ∫_R lim(α→0){αg(x)/ (x^2+α^2) }dx = ∫_R 0dx = 0.