高校生数学（集合）解き方考え方について

高校生数学（集合）解き方考え方について教えてください。


問　1-200で集合A（3の倍数）、集合B（5の倍数）、集合C（7の倍数）で
　　n(AUBUC）を求めろ。

　　公式として　nA＋nB＋nC－（nAandB＋nBandC＋nCandA）＋１　で
　　なりたつのは知っており、回答も一致するのですが、

　　画像にある　（誤）という解き方で計算すると回答が合いません。
　　計算ミスでなく、考え方が誤っているということになると思いますが、
　　なぜ、誤っているのかご教授ねがえませんでしょうか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/16 12:01

A∪B∪C において、A∩B∩C は 2重ではなく 3重に重複している。

最後の -1 は、 -1×2 でないといけない。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ご説明の内容は理解できているつもりですが、なぜー２でしょうか？
３重に重複しているということならば、－３のほうがしっくりきます。
もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？

お礼日時：2020/08/16 16:37

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/16 12:28

nAandB とは　3の倍数かつ５の倍数だから　（２００以下で）１５の倍数の個数を意味している

200÷15≒13.3より
200=15x13+5
このことより　n(AandB)=13　が確定
というのも割り算の結果を見て
200未満の１５の倍数は
15x1=15
15x2=30
15x3=45
・
・
・
15x13=195　
と書き並べることができるので
かける数の部分を見て、15の倍数は13こあるとわかる（これが理解できたら　割り算の結果をみて　１５の倍数の個数は13と判断がつく）
同様にして、200÷35=5.7・・・→n(BandC)=5
n(CandA)=9
ここまでは言われなくてもお判りかもしれない　
だから素直に公式に当てはめれば正答を表した「～=１０８」の式となる
その下の式は
n(AandB)からn(AandBandC)を引いた部分が12
n(BandC)からn(AandBandC)を引いた部分が4
n(CandBA)からn(AandBandC)を引いた部分が8として計算という考え方なのかもしれないが、
それだと（ベン図で確認してもらいながら）、nA＋nB＋nCの計算で　n(AandBandC)を３重に足し算していて
nA＋nB＋nC-12-4-8では、n(AandBandC)部分は引き算できていないので　相変わらずn(AandBandC)を３重に数えてしまっていることがわかる
そこで、３重を解消するために
nA＋nB＋nC-12-4-8　-2n(AandBandC)　としてあげることが必要だと分かるはずです
つまり、（おすすめはしないが、）公式を外して最下段の式のように考えるなら、最後にー１ではなくて-2をする必要があります

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
（誤）ですが、AB、BC、CAをすべて－１していますので、
きっちり調整できている認識なのですが、－２が理解できません。

質問を変えますが、図に書いたAB、BC、CA、ABC（12,4,8,1）は、
あっていますか？　間違っていますか？
また、こられの結果があっているならば、なぜ（誤）が合わないのでしょうか？

お礼日時：2020/08/16 16:41

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/08/16 12:50

１の部分はダブリだけど、3者のダブリでしょ？

12,4,8は各々でダブリを除いた値。全体で1個のダブリなんだから、2個少なくなってる。
それを元から引くと、2個多すぎ。

だから、最後に2を引く。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
（誤）ですが、AB、BC、CAをすべて－１していますので、
きっちり調整できている認識なのですが、－２が理解できません。

質問を変えますが、図に書いたAB、BC、CA、ABC（12,4,8,1）は、
あっていますか？　間違っていますか？
また、こられの結果があっているならば、なぜ（誤）が合わないのでしょうか？

お礼日時：2020/08/16 16:41

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/16 17:33

（誤）ですが、AB、BC、CAをすべて－１していますので、

きっちり調整できている認識なのですが、－２が理解できません。
>>>調整できていません。だから正しい答えが出ないんです
まずは
「質問を変えますが、図に書いたAB、BC、CA、ABC（12,4,8,1）は、
あっていますか？　間違っていますか？」について＞＞＞
正式な書き方でないと誤解を生むかもなので、
(A∩B)とは結局15の倍数のことなので
#2で説明したように
n(A∩B)=13
同様に正しく数えて
n(B∩C)=5
n(C∩A)=9
しっかり図で確認してほしいが、n(A∩B)はAとBの共通部分であってこの中にはA,B,Cの共通部分（図で１と書かれた部分）も含まれています
同様に、n(B∩C)=5もA,B,Cの共通部分（図で１と書かれた部分）を含んでいて　中央の１も含めてn(B∩C)=5個となっています
n(C∩A)も同じくA,B,Cの共通部分（図で１と書かれた部分）を含んでいる

だから素直に当てはめれば無難に66+40+28-(13+5+9)+1=108と言う正答が導かれます

あなたのように考える人はあまりいないが、あなたの図を見ると全部で７つの部分に仕切られていますよね！
何もダブっていないAだけの領域（左上の大きいエリア）・・・エリアaと名付けます
何もダブっていないBだけの領域（最下部の大きいエリア）…エリアb
何もダブっていないCだけの領域・・・c
A、B、Cの共通エリア（１の数字がふられた部分）・・・エリアabc
Aの丸と、Cの丸の共通部分からエリアabcを取り除いた部分（９の数字を囲んでいるエリア）・・・エリアd
重要事項！！・・・ただしここでいう「９」は集合（領域）に含まれる数字の個数ではなくて、単なるエリア識別のための番号だと割り切って話を聞いておいてください（後ほどこのエリアの数字の個数を解説します）
同様に　５の数字を囲んでいるエリア・・・エリアe
13の数字を囲んでいるエリア・・・エリアf
このようにすれば
n(A)=66=a+d+f+abc
n(B)=40=b+e+d+abc
n(c)=28=c+e+f+abc
なので
66+40+28=n(A)+n(B)+n(C)=a+b+c+2d+2e+2f+3abcでこの３つを足しただけでは
2重にカウントしている部分と3重にカウントしている部分があります
そこで、d,e,fは1回ずつ
abcは2個分引いてやらないと
n(AUBUC)=a+b+c+d+e+f+abcになりませんよね！
d+abc=n(AUC)より　d=n(AUC)-abc=9-1=8個
e+abc=５より　e=5-1=4個
f=13-1=12
ですから
n(AUBUC)=a+b+c+d+e+f+abc
=n(A)+n(B)+n(C)-d-e-f-2abc
=66+40+28-8-4-12-2
としなければいけないのです
あなたの計算ではエリアabcを2重に計算する結果となってしまっているのです

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/16 22:27

＞ご説明の内容は理解できているつもりですが、なぜー２でしょうか？

＞３重に重複しているということならば、－３のほうがしっくりきます。
＞もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？

３重に重複しているから、
2個ぶん引けば１個ぶん残って、A∩B∩C も１回だけ数えたことになる。
３個ぶん引いてしまったら、A∩B∩C は全て消えてしまって、１回も数えなかったことになる。
１個ぶん残さねばならないでしょうね。

上の(答)のほうの計算で、A∩B と B∩C と A∩C のぶんで 13+5+9 を引いたとき、
A∩B∩C を３個ぶん引いてしまって引きすぎたから、最後に A∩B∩C のぶんの 1 を足した
のだったはずです。
A∪B∪C の要素を数えるには、A∩B∩C の要素も１回数えねばならないのです。