関数 f(x)=2のx−1乗 について, 次の定積分の値はどれか. ∫12(f(x)+xf′(x))

関数 f(x)=2のx−1乗  について, 次の定積分の値はどれか.  
∫12(f(x)+xf′(x))dx

答えは3なのですが、やり方がわかりません‼️
教えてください❗️

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/10 11:19

積の微分法則 { x f(x) }’ = f(x) + x f’(x) から

∫(f(x) + x f’(x))dx = x f(x) + C = x 2^(x-1) + C.　；Cは定数
積分範囲が 1 ≦ x ≦ 2 なら、
答えは 2・2^(2-1) - 1・1^(1-1) = 4 - 1 = 3.

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/10 11:34

ｆ(x)=(1/2)・2^x

f'(x)=(1/2)・(2^x)log2
定積分＝(1/2)∫(2^x)+x・(2^x)log2dx ・・・以下、積分区間省略
=(1/2)∫(1+xlog2)(2^x)dx
=(1/2)∫(1+xlog2){(1/log2)(2^x)}'dx
=[(1/2)(1+xlog2){(1/log2)(2^x)}]-(1/2)∫(1+xlog2)’{(1/log2)(2^x)}dx　 ←←←部分積分
={(1/2)(1+2log2)(1/log2)(2^2)-(1/2)(1+log2)(1/log2)(2)}-(1/2)∫(2^x)}dx
=(1/2)(1/log2)・2{(1+2log2)2-(1+log2)}-[(1/2)(1/log2)(2^x)]
=(1/2)(1/log2)・2{(1+2log2)2-(1+log2)}-{(1/2)(1/log2)(2^2)-(1/2)(1/log2)・2}
=(1/2)(1/log2)・2{(1+2log2)2-(1+log2)-2+1}
=(1/2)(1/log2)・2{3log2}
=3