ベクトルの終点と存在範囲で、OP=sOA+tOBとなっていて、s+tの範囲が指定されていることがあり

ベクトルの終点と存在範囲で、OP=sOA+tOBとなっていて、s+tの範囲が指定されていることがありますが、sの範囲やtの範囲の意味はわかるのですが、s+tの範囲が何を意味するのかわかりません。教えてください。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/10/10 14:12

s+t=1のとき　

ベクトルの矢印は省略
OP=sOA+tOB=(s/1)OA+(t/1)OB
⇔OP={s/(s+t)}OA+{t/(s+t)}OB
⇔OP=(sOA+tOB)/(t+s)
で、これは内分点もしくは外分点の公式そのものですよね
（s>0,t>0なら　内分公式。どちらかが負の値となれば外分公式）
ここにs=0.5を代入すると　s+t=1だからtも自動的に0.5に決まり
OP=(0.5OA+0.5OB)/(0.5+0.5)=(1OA+1OB)/2
よりこのときのPの位置は ABの中点となります
同様にして　s=0.25なら　t=0.75で　この時のPの位置はAP：BP＝３：１という内分点です
以下、sをいくつに設定してもpが自動的に決まり　PはAPの外分点もしくは内分点となるので　OP=sOA+tOB s+t=1 のとき　
sをわずかずつ変化させれば、ベクトルOPの矢印の先端が直線ABを描くというわけです

では、s+t=1以外では？
このときは　s+t=kと置きます
変形して
OP=sOA+tOB＝(k/k)(sOA+tOB)
=k{(sOA+tOB)/k}
=k{(sOA+tOB)/(t+s)}…①
OQ=(sOA+tOB)/(t+s) とおけば
先ほど同様、分点の公式ですから
s+t=k(定数)より、sの値を徐々に変化させるとｔも連動して変化して
Qが描く軌跡（ベクトルOQの矢印の先端が描く軌跡）は
直線ABということになります
さて、①をOQを使って書き改めると
OP=kOQですよね
仮にk=1/2と仮定すると
OP=(1/2)OQ　ですからPはOQの中点ということになります
sを徐々に変化させると、Qは直線AB上を動いていくのですから
その中点Pの位置も徐々に変化していくわけです
で、点Oと直線AB（Qが描く直線）の距離をdとすれば
OQの中点の軌跡（Pが描く軌跡）は点Oとの距離がd/2で 直線ABに平行な直線となるわけです

反対にk=2と仮定すれば
OP=2OQより　QはOPの中点となるので
Pが描く軌跡は　Oからの距離が2dでABに平行な直線となります

このようにして、kの値が変化しても　Pが描く軌跡はQが描く軌跡（AB)と平行な直線であることがお分かりかと思います
ただし、ｋの値のよって　OとQとPの位置関係が変わるので
点OとPが描く直線の距離は変化します
つまり、k=s+tとは　点OとPが描く直線の距離に影響を与える数字なのです

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/10/10 11:47

＞s+tの範囲が何を意味するのかわかりません

a ≦ s + t
であれば、
　t ≧ a - s
　s ≧ a - t
ということです。

s + t ≦ b
であれば
　t ≦ b - s
　s ≦ b - t
ということです。

各々、その境界線では、t = a - s, s = a - t なので
　OP = sOA + tOB = sOA + (a - s)OB = s(OA - OB) + aOB = sBA + aOB
　OP = sOA + tOB = (a - t)OA + tOB = t(OB - OA) + aOA = tAB + aOA
であり、a は定数、s, t が可変パラメータなので、これで2本の直線が引けます。
あとは、その2本の直線で仕切られた「4つの領域」のどこかを不等号の向きで判定すればよいです。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/10/10 10:45

(→OP)=s(→OA)+t(→OB)

s+t=1 の場合をもとにして考えます。
s=1-t
(→OP)=s(→OA)+t(→OB)
=(1-t)(→OA)+t(→OB)
=(→OA) - t(→OA)+t(→OB)
=(→OA)+t{(→OB) - (→OA)}
=(→OA)+t(→AB)
これより、点Pは直線AB上にあります。

s+t=k の場合
k≠0 とすると、
s/k + t/k=1
(→OP)=s(→OA)+t(→OB)
=(s/k){k(→OA)}+(t/k){k(→OB)}

k(→OA)=(→OA')、k(→OB)=(→OB')
s/k=u、t/k=v とすると、
u+v=1
(→OP)=u(→OA')+v(→OB')
これより、点Pは直線A'B'上にあります。

k=0 の場合
s=-t
(→OP)=s(→OA)+t(→OB)
= -t(→OA)+t(→OB)
=t{(→OB) -(→OA)}
=t(→AB)
これより、点Pは点Oを通り直線ABに平行な直線上にあります。

以上のことより、
j≦s+t≦k の場合
j(→OA)=(→OA'')、j(→OB)=(→OB'') とすると、
点Pは直線A'B'と直線A''B''に挟まれた領域にあります。（境界線を含みます）

問題としてよく見かけるのは、s≧0 , t≧0 が条件として付け加えられているものです。

① s+t=1 , s≧0 , t≧0 が条件のときは、
s=1-t より、1-t≧0 なので、1≧t
よって、0≦t≦1
(→OP)=(→OA)+t(→AB)
点Pは直線ABの一部分の線分AB上にあります。

② 0≦s+t≦1 , s≧0 , t≧0 が条件のときは、
点Pは△OABの内部にあります。（境界線を含みます）

③ j≦s+t≦k , s≧0 , t≧0 が条件のときは、
点Pは台形A'A''B''B'の内部にあります。（境界線を含みます）