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△OABに対し、OPベクトル=sOAベクトル+tOBベクトル とする。実数s,t が次の条件を満たしながら動くとき、点Pの存在範囲を求めよ。
s+2t≦2 s≧0, t≧0

この問を、s+2t=kとおいて解くとどうなりますか?

gooドクター

A 回答 (3件)

△OABに対し、↗OP=s↗OA+t↗OB とする。

実数s,t が次の条件を満たしながら動くとき、点Pの存在範囲を求めよ。s+2t≦2, s≧0, t≧0
図1 ↗OAを2倍に延長した点をCとする。
Pの存在範囲の限界値は s=t=0のとき点O、s=2,t=0のとき点C、s=0,t=1のとき点B
点Pの存在範囲は三角形OCBの内部と周上である。(黄色の範囲)
証明;条件式が一次式だから、二つの限界点を直線で結んだ線上の点は条件式をみたす。


この問を、s+2t=kとおいて解くとどうなりますか?
図2 ↗OAをk倍に延長した点をDとする。↗OBを(k/2)倍に延長した点をEとする。
Pの範囲の限界値は s=t=0のとき点O、s=k,t=0のとき点D、s=0,t=k/2のとき点E。
点Pの存在範囲は三角形ODEの内部と周上である。(黄色の範囲)
「△OABに対し、OPベクトル=sOAヘ」の回答画像3
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s≧0, t≧0より


s+2tはマイナスの数値になることは無い
従って0≦s+2t≦2
s+2t=k…①とおくと
0≦k≦2
・k=0のときs=0,t=0だからOPベクトル=sOAベクトル+tOBベクトル=0ベクトル
すなわちPの位置はOと一致
・k≠0のとき(0<k≦2のとき)
①両辺を1/k倍して
(s/k)+(2t/k)=1
便宜上s/k=s',2t/k=t'とおけば
s'+t'=1 (←←←係数s'とt'の和が1ということで、これで何となく直線のベクトル方程式に結びつける下地ができた)
s≧0, t≧0、k>0だからs'≧0, t'≧0 (←←←係数s'とt'が共に0以上ということで、これで直線から更に条件を絞り込んで、線分に結びつけることが出来るようになる)
以下ベクトルの矢印は省略
OP=sOA+tOB
=(k/k)sOA+(2k/2k)tOB ←←←s、tをs',t’に置き換える準備
=(s/k)kOA+(2t/k)(k/2)OB
=s'(kOA)+t'{(k/2)OB}
ただし、s'+t'=1 s'≧0, t'≧0
ゆえに、kOA=OA',(k/2)OB=OB'とおけばOP=s'OA'+t'OB'だから
Pは線分A'B'上の点であると言える
締めにkの数値の変動を考慮する
小手調べとしてk=1と仮定すれば
OA=OA',(1/2)OB=OB'でこのときA'はAと一致、B'はOBの中点・・・このような位置にあるA'、B'に関して
Pは線分A'B'上の点 という事になる

k=2と仮定すれば、
2OA=OA',OB=OB'でこのときA'はOAの延長上OAの長さの2倍の位置にあり(OA'の中点がA)、B'はBと一致・・・このような位置にあるA'、B'に関して、Pは線分A'B'上の点 という事になる
この要領で、kによってA'とB'の位置は変わるが、kがいくつの数値のときでも、Pは線分A'B'上にある
よって、kの数値を0から2の範囲で細かく仮定して、その時々の線分A'B'の位置をすべて調べればPの存在範囲が分かる
つまりkの数値を細かく変えたときに描かれる、線分A'B'の残像(軌跡)がPの存在範囲となる
(K=1やK=2などで(何ならK=0.5やK=1.5も付け加えて)A'B'を作図してもらえば分かるが、Kの値が変化してもA'B'の傾きは変わらない)
従って、OAを2:1に外分する点をA"として
Kの数値を0から2の範囲で変動させる時にできるA'B'の残像(軌跡)は、△OA"Bとなることがわかる
ゆえにPの存在範囲は△OA"Bの周上及びその内部
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s+2t≦2 , s≧0 , t≧0


s+2t=k とおくと、k≦2

(→OP)=s(→OA)+t(→OB)=s(→OA)+2t{(1/2)(→OB)}

OBの中点を点Cとすると、
(→OC)=(1/2)(→OB)
よって、
(→OP)=s(→OA)+2t(→OC)

s+2t=k より、s/k+2t/k=1
(→OP)=(s/k){k(→OA)}+(2t/k){k(→OC)}……①

(→OA´)=k(→OA)
(→OC´)=k(→OC)
とおくと、
(→OP)=(s/k)(→OA´)+(2t/k)(→OC´)

k≦2 より、k=2 として、
OAの延長上に、OD=2OAとなる点Dをとる。
また、
OB=2OC
①より、
(→OP)=(s/2){2(→OA)}+(2t/2){2(→OC)}
=(s/2)(→OD)+(2t/2)(→OB)
s/2+2t/2=1 , s/2≧0 , 2t/2≧0 より、
点Pは、線分DB上の点である。

k≦2 より、
点Pは、△ODB内(線上も含む)にある。
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