極限

lim x²logx の極限の求め方を教えてください。
x→+0

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/10/28 11:33

x=1/tとおくと

x→+0では
t→＋∞
x²logx＝log(1/t)/t²
=-logt/t²→０
（∵整関数のほうが対数関数より早く大きくなるので）

またはロピタルの定理にて
lim[t→＋∞]-logt/t²＝Lim-(1/t)/2t=Lim-1/2t²=0

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/10/28 21:13

x=1/e^tとおくと、x→+0はt→+∞となる。

また、両辺の対数ととると、logx=-t となるため、

lim[x→+0] (x^2)logx
=lim[t→+∞] -t/e^2t

次にf(t)=e^t - t^2/2 (t≧0)を考える。導関数f'(t)は、

f'(t)=e^t - t>0 (t≧0)

より、f(t)=e^t - t^2/2 (t≧0)は単調増加になる。

f(0)=1より、f(t)=e^t - t^2/2>0 であるため、

e^t>t^2/2

となる。
逆数をとると、1/e^t<2/t^2となり、また1/e^t>0より、

0<1/e^t<2/t^2

となる。
t>0において、-t/e^tをかけると、

-2/(te^t)<-t/e^2t<0

となる。

lim[t→+∞] -2/(te^t)=0

であることから、はさみうちの原理より、

lim[t→+∞] -t/e^2t=0

ゆえに、lim[x→+0] (x^2)logx=0

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/28 16:44

x = 1/e^u と置くと、

x→+0 ⇔ u→+∞ であり、
(x^2)(log x) = u/e^(2u) = √(u/e^u).

u > 0 のとき
e^u = Σ[k=0→∞] (1/k!)u^k
　　> (1/2)u^2　； Σ の各項が正だから
より
0 < u/e^u < u/{ (1/2)u^2 } = 2/u.

lim[u→+∞] 2/u = 0 より
ハサミウチの定理によって、
lim[x→+0] (x^2)(log x) = 0.