友達と意見が分かれた問題

lim(x→1)　([x^2]-1)/(x^2-1)
この極限値はどうなりますか？僕は左側が－∞、右側が1になったのですが、友達は右側極限が0になりました。どっちが正しいでしょうか？僕はx→1のとき[x]≒xとみなして、１としました。友達はx=1.5とかの時に分子はもう0だからそのまま0だといいました。
友達の言ってることも正しいような…

よろしくお願いします。

No.4 回答者： whitedingo 回答日時： 2007/06/13 00:42

範囲

1<=x<2
ではy=1
で、ｙ＝１という関数です。
収束とか言う前に、そもそもそれは数字の１に等しい。
収束した結果が１じゃなくて、その関数のとる値が１ということ。
ｘ－１でｘ→１＋０のときは次第に０に近づくけど、
今回の場合は、[x]は1<=x<2の時恒等的に１なわけなので

[x]-1=0 (1<=x<2)

まあ、ｙ＝[x]－１のグラフを考えればイメージがつかめると思います。
ｙ＝[x]をｙ軸負の方向に１だけずらせばいいんです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

みなさん、アドバイスということで、明確な答えではなかったので、ポイントは今回は控えさせていただきます。

お礼日時：2007/06/13 01:02

No.3 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/06/13 00:17

[x] は x が 1 よりちょっと大きければ 1、1よりちょっと小さければ 0 ですね。

したがって x -> 1+0 の時は x が 1.1, 1.01, 1.001, ... という風に 1 に近づきますがこの間ずっと [x] = 1 、逆に x -> 1-0 のときは 0.9, 0.99, 0.999,... の間ずっと [x] = 0 です。

No.2 回答者： syouji_08 回答日時： 2007/06/12 23:07

はさみうちの原理を使えば良いと思います。

x^2 ≦ [x^2] < x^2 + 1
より、

lim[x→∞](x^2-1)/(x^2-1) =1
lim[x→∞](x^2)/(x^2-1) = 1
となるので、
lim[x→∞]([x^2]-1)/(x^2-1) = 1

この回答へのお礼

x→1です。
あと問題が少し違ってました。
[x^2]　→　[x]^2
すいません。

お礼日時：2007/06/12 23:11

No.1 回答者： zk43 回答日時： 2007/06/12 22:55

0<x<1のとき[x^2]=0だから、([x^2]-1)=-1/(x^2-1)

x→1-0とすれば極限は∞
1<x<2のとき[x^2]=1だから、([x^2]-1)=-1/(x^2-1)=0
x→1+0としても極限は0