極限値が存在するように定数を決める

いつも参考にさせてもらっています。

極限値
lim[x->0](e^x - ax -b)/(x^2)

が存在するように定数a,bを求めよ。

解決のアイデアは、ロピタルではない感じがします。
といって、テイラー展開をどうやってやるのかも、見当がつきません。

ご経験のある方がおられたら、助言をお願いします。

（これも正解はついていません）

No.1 ベストアンサー 回答者： jamf0421 回答日時： 2007/04/15 18:32

e^xのTaylor展開は簡単です。

x=0とおけば定数項が１が分かります。以下e^xは何回微分してもe^xを知って、微分するたびにx=0を入れれば自然に係数は決まります。
分母のx^2がゼロになって行くとき、Taylor展開でx^2以上の項は発散要因になりません。結局e^xの展開のうち初めの二つ1+xが問題になります。よって(1+x-ax-b)/x^2をx→0で収束させればよいことになるはずです。要するにここで分子はゼロになっていればよいのでしょう。

この回答への補足

x=0で
e^x のテーラー展開を行うと

=> e^0 + e^0*x/1! + e^0*x^2/2! + e^0*x^3/3! ・・・・・

上記の式のうち、
２番目までに着目すればよい、ということでしょうか？

補足日時：2007/04/15 18:42

No.2 回答者： imopro 回答日時： 2007/04/15 18:41

ヒントだけ書いておきます。

lim[x→a]f(x)/g(x)=t（つまり極限値が存在する）
　かつ
lim[x→a]g(x)=0
　なら、
lim[x→a]f(x)=0
　が必要条件になります。

今回の場合、f(x)=e^x-ax-b、g(x)=x^2であり、
lim[x→0](e^x-ax-b)/(x^2)の極限値が存在し、lim[x→0]x^2=0というのだから、lim[x→0]e^x-ax-b=0が必要になります。

この回答へのお礼

解決のための着目点、ありがとうございます。

お礼日時：2007/04/15 19:16

No.3 回答者： age_momo 回答日時： 2007/04/15 18:50

ロピタルでも良いと思います。

lim[x->0](e^x - ax -b)/(x^2)

が発散せずに極限値を持つためには

f(x)=(e^x - ax -b)
g(x)=x^2

とすると

g(0)=0,g'(0)=0　ですから
f(0)=0,f'(0)=0　でなければなりません。

よって

f(0)=e^0-0-b=0
f'(0)=e^0-a=0

です。

No.4 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/04/15 18:51

e^x の展開は・・・暗記できるくらい簡単というか

あまりに自然なので，すぐ出せます．
(e^x)'=e^x だということで

e^x = 1 + 1/1! x + 1/2! x^2 + ・・・+ 1/n! x^n +・・・

だから，a = b = 1 で極限値は 1/2
テイラー展開もしくはマクロリン展開の公式は
しっかり理解しましょう．


ちなみに・・・ロピタルでやるんなら
e^x/2 -> 1/2 (x->0)
が先にでてきて，
(e^x - a)/x (x->0) の極限の存在から分子の極限が0なので a = 1
さらに戻って，
(e^x-x -b)/x^2 (x->0)
の極限の存在から分子の極限が0だからb=1 です．

暗黙のうちにつかってるのは
g(x)->0 (x->0) かつ f(x)/g(x) (x->0)が存在するならば
f(x)->0 (x->0) である
という事実です

この回答へのお礼

e^x の展開はわかりますが、(e^x - ax -b)のなかの
axもテイラー展開しなければならないと思っていました。

お礼日時：2007/04/15 19:13

No.5 回答者： info22 回答日時： 2007/04/15 18:54

x->0の時分母がゼロに収束しますので極限値が存在するには

分子もゼロに収束しないといけません。
e^x - ax -b→1-b＝0(x->0)　b＝1
ロピタルの定理を適用して
(e^x - ax -b)/(x^2)→(e^x -a)/(2x) (x->0)
分母がまだゼロに収束しますので分子もゼロに収束しないといけません。
e^x -a→1-a＝0 (x->0)　a＝1
この時ロピタルの定理を適用して
(e^x -a)/(2x)→e^x /2→ 1/2 (x->0)
以上からa＝b＝1となります。