数Ⅰ「xとyについて降べきの順に整理する」とは？

高1です。数Ⅰの問題集に、以下のような記述がありました。
　「次の整式の同類項をまとめて整理せよ。」
　　x³-2ax²y+4xy-3by+y²+2xy-2by+4a
　（中略)
　＝x³-2ax²y+6xy+y²-5by+4a
　　↑xとyについて降べきの順に整理した。
おそらく、xとyに着目したときの次数が、左の項から順に3,3,2,2,1,0となっていることについて、降べきの順に整理したと書いているのだと思います。(この理解が間違っていたらご指摘お願いします！)

ここで質問なのですが、この6xyとy²は入れ替えてしまっても降べきの順に整理したことになるのでしょうか。
順番をよく見てみると、xについて降べきの順に整理してから、yについて降べきの順に整理しているようにも思えます。もし「x³-2ax²y+y²+6xy-5by+4a」としてしまうと、それが崩れてしまうため、答えとして適さないのではないか？と気になりました。
細かいところではありますが、「xとyについて降べきの順に整理する」というのがどこまでを指すのか、ご教示いただければと思います。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/02 18:52

＞ xとyに着目したときの次数が、左の項から順に3,3,2,2,1,0となっている

＞ ことについて、降べきの順に整理したと書いているのだと思います。

そのとおりです。

＞ xについて降べきの順に整理してから、yについて降べきの順に整理
＞ しているようにも思えます。

それは、違います。
今回の例 x³-2ax²y+6xy+y²-5by+4a の場合は、そのようにも見えますが、
例えば x³+x²y+xy²+y³+x²+xy+y²+x+y+1 は、この順に書くのが慣習です。
xとyに着目したときの次数が降順にはなっていますが、
「xについて降べきの順に整理してから」にはなっていませんね。
xy² が x² より左にあったりして。

xとyに着目したときの次数で分類した後、その中で x について降べき
の順で並べるのが普通だと思います。 上の例で言えば、
(x³+x²y+xy²+y³)+(x²+xy+y²)+(x+y)+1 の各 ( ) 内が x で降べきです。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2020/11/02 20:27

通常は「xとyについて降べきの順に整理」とはあまり言いません。

「x について 降べきの順」とだけ云います。
どちらも、x について 降べきの順にしてから、
残った項を y について 降べきの順に 並べます。

現実的には、後の計算をし易くする目的なので、
その目的に沿った方法で良いのです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/11/02 18:42

＞「xとyについて降べきの順に整理する」というのがどこまでを指すのか

単純に、それを記述する人が「この原則て並べる」と決めればよいだけの話です。

「xについて降べきの順に整理してから、yについて降べきの順に整理する」ならその順番にすればよいし、

「x と y を区別せずに、その積も含めての次数の大きい順」ならその順番にすればよい。

「何に着目した降べき順か」が書いた人の中で首尾一貫していればそれでよいのです。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/11/02 18:36

>>降べきの順に整理したと書いているのだと思います。

(この理解が間違っていたらご指摘お願いします！)

その通りです。

>>xとyについて降べきの順に整理する
xについて降べき、次にyについて降べきの順です。

x³-2ax²y+y²+6xy-5by+4aはxについて降べきの順になってないので、
x³-2ax²y++6xyとしてxについて降べきの順にし、

残りをyについて降べきの順にします。
y²+-5by

最後のx,yに関係の無い4a。

問題に何も指定されてなければ、書き方は自由ですが、普通は降べきの順にするのが「慣習」です。