
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
> x^3y-xy^3-x^2+y^2+2xy-1=0 (因数分解せよ)
=0 がないのが正しいでしょう.
お約束どおり,降べきの順に整理しましょう
x^3y-xy^3-x^2+y^2+2xy-1
= y x^3 - x^2 + (2y-y^2) x + y^2-1
で,困ったときには「こうなればいいな」を勝手にでっち上げて
「都合のいいようにいいように」変形してみて
うまくいったら,その答えが正しいかチェックするという
いわゆる「発見的手法」を使ってみましょう.
ここでもし,因数分解できるのであれば
( yx + A(y) )(x^2 + B(y) x + C(y) )
という式で表せるのではないかと考えます.
#ここで x の一次式の方に係数yをつけていますが
#これは二次式の方に係数yをつけても構いません
#が・・,「こうなって欲しい」という願望で
#このようにしています.
#この方が簡単になるという「見込み」です
この式を展開した結果の x^2の係数,xの係数,定数項を考えると
A(y)C(y) = y^1 -1・・・定数項
C(y)y+A(y)B(y) = 2y-y^2・・・xの係数
A(y)+B(y)y=-1 ・・・ x^2の係数
xの係数をみると,yが因数なので,A(y)B(y)もyを因数にもつはず.
一方,定数項をみれば A(y)はyを因数にもてない.
よって,B(y)=yB'(y)とおけるはず.
これより,
A(y)+y^2B'(y)=-1
これより,
A(y)がy^2-1の因数であることと定数項はA(y)からしか出てこないので
A(y)=y^2-1
よって,B'(y)=-1
したがって、C(y)y+A(y)B(y) = 2y-y^2より
C(y)y+(y^2-1)y(-1)=2y-y^2
つまり,C(y)=1
以上より
x^3y-xy^3-x^2+y^2+2xy-1 は
( yx + A(y) )(x^2 + B(y) x + C(y) )
=( yx + y^2 -1 )(x^2 - yx + 1 )
と因数分解されることが「予想される」.
実際,この式を展開すれば, x^3y-xy^3-x^2+y^2+2xy-1 が得られる.
とまあ,こういうことを計算用紙にがんがん書くわけです.
で,実際の解答には
さもいきなり思いついたように書くわけです(^^;
この場合,降べきにした後に
因数定理を使うことを考えて,(y^2-1)/yを代入して0になることを
示すとか,
( yx + y^2 -1 )( x^2 - yx + 1 )
= - ( yx + y^2 -1 )( yx -x^2 - 1 )
と考えて (yx)^2 をいきなり元の式に加えて
因数分解を始めるような書き方があると思います.
もちろん,もっときちんとした(というか,トリッキーな,定石的な
ある意味では正統派な)解があるのかもしれません
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