正五角形のなかにまた正五角形・・・

正五角形の中に星型を描くと小さい五角形ができます。これを繰り返すと無数の五角形ができます(実際はあまり沢山は描けませんが・・・）。またはじめの五角形より大きな五角形を描くことも容易です。このような一連の五角形の大小は等比級数のようになっているように思うのですが，中学程度の数学で簡単に答えは出せますか。

No.4 ベストアンサー 回答者： sakura_214 回答日時： 2005/02/03 13:05

外側の正5角形と内側の正5角形は互いに比が一定の相似なので，一連の正5角形の大小はこの相似比を公比とする等比級数となります．そこでこの相似比を求めてみましょう．

外側の正5角形をABCDEとし，内側の正5角形をA'B'C'D'E'とします．
（AとA'，BとB'，…，EとE'は中心に対して互いに逆側になるように配置します）
また，外側の正5角形の１辺の長さを1，内側の正5角形の１辺の長さをx（ただしx＜1）とします。

【補足】（もし正5角形の性質にあまり詳しくないのなら下の証明を読む前に見て下さい）
正5角形の１つの内角は360°÷5＝108°ですが，１つの内角（例えば∠BAE）を対角線で区切った３つの角（この例では∠BACと∠CADと∠DAE）はちょうど３等分されて１つが108°÷3＝36°になります．これを確かめるのは簡単で，正5角形ABCDEに外接円を描き，弧BCと弧CDと弧DEの長さが互いに等しいことから，その円周角∠BACと∠CADと∠DAEも互いに等しいとわかります．
これを利用すると正5角形には２種類の互いに相似である二等辺三角形がたくさんあることがわかります．１つは(36°,72°,72°)の二等辺三角形で△ACDや△A'C'D'や△EAD'や△ABC'などが該当します．もう１つは(36°,36°,108°)の二等辺三角形で△AB'Eや△A'C'E'や△ADEなどが該当します．（自分で確かめてみましょう）

△EAD'と△AC'D'は互いに相似で(36°,72°,72°)の二等辺三角形で，△AB'Eは(36°,36°,108°)の二等辺三角形です．AE=D'E=1とC'D'=xからAD'=AC'=B'E=1-xです．よって△EAD'∽△AC'D'よりEA:AD'=AD':D'C'なので，
1:(1-x)=(1-x):x → x=(1-x)^2 → x^2-3x+1=0 → x=(3-√5)/2 （←注：x＜1なので±は負のみ有効）
以上より外側の正5角形と内側の正5角形の相似比は，1：(3-√5)/2（内側を1とすると(3+√5)/2：1）であるとわかります．

この回答への補足

このような比が決まるのは頂角の大きさによるのでしょうか。７角形とか９角形でも同じような等比的な関係がありそうに思うのですが・・・

補足日時：2005/02/03 13:19

この回答へのお礼

ご丁寧にご教示いただき有難うございます。勉強したいと思っております。

お礼日時：2005/02/03 13:24

No.3 回答者： redowl 回答日時： 2005/02/03 12:41

＃２です。

続きで・・・
星形の頂点を直線で結ぶと、一回り大きな正五角形になり、
この辺の長さは、
１＋　（１＋√５）／２　＝2.618・・・・・・
作図すれば、平行四辺形が現れますから、一目瞭然。

元の正五角形は、１の長さ。それが２.618倍に大きくなる。等比級数的に・・・・・

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。作図して実測したときにはこのような関係がわかりませんでした。

お礼日時：2005/02/03 12:55

No.2 回答者： redowl 回答日時： 2005/02/03 11:47

図形の相似（二等辺三角形で考えてみてください）で

辺の比を求めると、計算できます。

正五角形の一辺の長さを　１　とした時、
その五角形の各辺を延長して出来る図形、　星　の　突き出た辺の長さは
（１＋√５）／２
後は、独自で・・・・・

この回答への補足

どうもありがとうございます。等比級数的なのでしょうか・・

補足日時：2005/02/03 11:54

No.1 回答者： ymmasayan 回答日時： 2005/02/03 11:45

数学を使わなくても直感的に判ると思います。

小さい五角形を大きい五角形の大きさまで拡大したと考えれば、
同じ倍率で何度でも繰り返す事が出来ます。
これは等比級数になっていることを表します。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。

お礼日時：2005/02/03 12:00