量子力学で波動関数が Ψ(x,t)=Ψ_0(t)exp(i(ax+by-cz)) で与えられる時の運

量子力学で波動関数が
Ψ(x,t)=Ψ_0(t)exp(i(ax+by-cz))
で与えられる時の運動量とエネルギーはどのような値になりますか？

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/11/12 08:39

Ψ(x,t)=Ψ_0(t)exp(i(ax+by-cz))

　ポテンシャル V (x) があるときのシュレーディンガー方程式は
i ℏ * ∂/ ∂tψ(x, t) = Hψ (x, t)

= (− ℏ ²/2m ∇2+ V (x))ψ(x, t) 　(∇2 = ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 )
Ψ(x,t)=Ψ_0(t)exp(i(ax+by-cz))＝Ψ_0(t)＊e^iax*e^iby*e^icz
e^iax*e^iby*e^icz*i ℏ* ∂/ ∂tΨ_0(t)= Ψ_0(t)＊H e^iax*e^iby*e^icz
両辺を、Ψ_0(t)＊e^iax*e^iby*e^iczで割って
1/(Ψ_0(t) )*i ℏ* ∂/ ∂tΨ_0(t)=1/( e^iax*e^iby*e^icz)* H e^iax*e^iby*e^icz
左右は独立変数なので、
1/(Ψ_0(t)) *i ℏ* ∂/ ∂tΨ_0(t)=E (定数)
1/( e^iax*e^iby*e^icz)* H e^iax*e^iby*e^icz＝E

ポテンシャルについては規定していないので、簡単にV (x)＝０とします。
H e^iax*e^iby*e^icz＝E e^iax*e^iby*e^ic
− ℏ²/2m *( ∂ 2/ ∂x2 + ∂ 2 /∂y2 + ∂ 2 /∂z2 ) e^iax*e^iby*e^icz= E e^iax*e^iby*e^ic

= − ℏ²/2m* (e^iby*e^icz ∂ 2e^iax/ ∂x2 + e^iax*e^icz∂ 2e^iby/ ∂y2
+ e^iax*e^iby ∂ 2e^icz/ ∂z2 )= E e^iax*e^iby*e^ic
− ℏ²/2m* (1/e^iax* ∂ 2e^iax/ ∂x2 +1/e^iby*∂ 2e^iby/ ∂y2
+ 1/e^icz* ∂ 2e^icz/ ∂z2 )= E
右辺が定数で、左辺は第一項が x、第二項が y、第三項が z に依存しています。このため、右辺の各項は定数にな る必要があります。よって
− ℏ²/2m 1/e^iax* d2e^iax/ dx2 = Ex
− ℏ²/2m 1/e^iby* d2e^iby/ dy2 = Ey
− ℏ²/2m 1/e^icz* d2e^icz/ dz2 = Ez
e^ia0 = 0 , e^iaL= 0 (0 ≤ x ≤ L)となるような解を求めると
k = nπ/L , k 2 = (nπ/L )^2 = 2mE/ℏ^2

Ex+Ey+Ez=E=ℏ^2*k^2/2m = π^2ℏ^2 /(2mL^2)*n^2 L=x,y,zの範囲
EとpにE = p^2/2m