第二種ベッセル関数 積分表示の変形について

∫ [∞,−∞]dθ exp[−iz sinh θ] = 2 K0(z) (=∫ [∞,−∞]dθ exp[−z cosh θ]
が成り立つそうなのですが、どうにも等しくなりません
左辺でθ→(π/2)i+θと変数変換すれば非積分関数は右辺のそれと一致しますが
積分区間に虚数が入ってくるので複素積分しようにもうまい具合に余分な項が消えてくれません

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/04/18 09:01

このような複素積分をする場合、適当な閉じた経路での積分を考えるとよいでしょう。

次のような経路での積分を考えてみましょう。
(1)θ=x [x:-R→R]
(2)θ=R+yi [y:0→π/2]
(3)θ=x+(π/2)i [x:R→-R]
(4)θ=-R+yi [y:π/2→0]

被積分関数は複素平面上のいたるところで正則であるため(1)～(4)をすべて足し合わせると"0"になります。

(1)～(4)をR→∞としたときのどのようになるか考えてみましょう。
(1)は与式の右辺になりますね。
(3)は左辺を変数変換したものを逆向きにしたもの、つまり左辺を-1倍したものです。

(2),(4)はどうなるでしょうか。これが"0"に収束してくれれば (1)+(3)=0となり、左辺=右辺がいえます。
この積分をどう評価すればよいか。
絶対値を考えてみればよいでしょう。
複素積分においても
|∫_c f(z) dz| ≦∫_c ｜f(z) dz|
の関係は成り立ちます。つまり、被積分関数の絶対値を評価してしまえばよいのです。
|exp(z)|=exp( Re(z) )
ですので指数部の実数部を調べればよいということです。

あとはがんばってください。