ミンコフスキー図の見方について

添付図は、ある記事のミンコフスキー図の説明ですが、よく理解できませんので教えて下さい。
ctとxは静止系のO（男子）が、ct’とx’は運動系のO’（女子）がそれぞれ認識している自分の時間と距離だと思います。ctとxは同じような理屈ですので、ctについてだけお聞きします。
① 点P1はO’から見たOにおける同時刻の点、P2はOから見たO’における同時刻の点である。は正しいですか。
② 図において、点P1～ct間がなぜβｘになるのかが分かりません。βｘ（ｖｘ／ｃ）は線P1～ピンAの傾きを表していると思いますが、なぜこれが点P1～ct間の長さになるのでしょうか。
③ところで、一般的に表現すると、t’（動）＝1／γ t（静）ですが、この時のt（静）は、今の図でいうとOから見たOの時間ですので、ctに当たると思います。したがって、ct’＝1／γctになると思いますが、しかし、これでは図にあるct’＝γ（ct−βx）の式と右辺が一緒にならないような気がするのですが。
➃ 図ではct’は（ct−βx）のγ倍となっておりますが、そうではなく、　√1+β＾2／1-β＾2になるという人もいます。どういうことでしょうか。
⑤ミンコフスキー図は慣性系の違う二者間の時間と距離の差異を見るのに便利だと言いますが、双方の１単位長が違ってくるので直感と事実が異なる場合があると思います。やはりローレンツ変換をしながら確認をしていくのでしょうか。
以上ですが、詳しい方のご教示をよろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/12/11 18:27

>ctとxは静止系のO（男子）が、ct’とx’は運動系のO’（女子）がそれぞれ認識している自分の時間と距離だと思います。

<
●意味不明ですが、「時空であるイベントが生じたとき、そのイベ
ントが各慣性系座標で(ct,x),(ct',x)であったときの関係」です。・・・①

①
同時刻とは同一慣性系上の概念です。言ってる意味が全く不明。
P₁は動系で時刻 ct'となる静系x=0 での時刻 ctです。一般に
ct≠ct' なので同時でない。くどいが、同時とは時刻のー致 t'=t
のこと。

②
時空図の構成方法から、図にあるように、ct-x座標における
x'軸の傾きはv/c=βです。これは P₁-Aの傾きと同じなので
　(ct-P₁)/x=β → ct-P₁=βx

③
何を計算しているか不明だが、簡単のため x=0 における時刻をみ
ると t'=γt だが、これは静系のx=0で動系の各座標に固定された時
計の時刻だが、動系の座標は次々移動し、x=0 では別の時計の時刻
を読んでいるので、時間の比較は無意味。

これに対し、動系の1つの時計の時刻を比較するには例えば、x'=0
に固定された時計をみる。すると、
　x=vt → t'=γ(t-v(vt)/c²)=γ(1-v²/c²)t=t/γ
を得る(xは変化するが、各系で同時の定義で時刻合わせされている)。

④
図にない。√{(1-β)/(1+β)} みたいなものを見たことがあるが
覚えていない。

⑤
スケールが違うのでユークリッド幾何学のようにはいきません。
このことは省かれることが多いので要注意です。
同一座標または同一時刻の比較だったら簡明な使い道があります。

一般に、ローレンツ変換で計算した方が余計なことを考えずにす
みます。


そして、以前、シュッツの薫陶を受けたり、うのみにした大学教
授達が時空図で双子のパラドックスを説明するなどと、大流行で
した。

時空図に、適当に線を引いてはいけません。一般に、時空図はペ
テン師の必須アイテムです。だから「気負付けよう、暗い夜道と
時空図に」。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました。率直なご指摘により、自分の思い込みや勘違いに気付き恥じております。
時空図は余り推奨されていないようですが、もう少し勉強してみたいと思います。大変ありがとうございました。

お礼日時：2022/12/11 20:29

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/12/11 16:44

>① 点P1はO’から見たOにおける同時刻の点、

>P2はOから見たO’における同時刻の点である。は正しいですか

「O’から見たOにおける同時刻の点」が意味をなしてないです。

P1もP2は一つの事象で、時空Oと時空O'の両方に存在してます。
時空図が表すのは、２つの時空が異なる座標をもち、
同じ事象が異なる座標値(時刻と位置)を持つということです。

時空的に離れた事象が同時刻かどうかは、時空により異なります。

時空Oで事象Aと同時刻の事象がP2
時空Ｏ′で事象Aと同時刻の事象がP1です。

②P1-A の線分はct′=一定の線。
つまり
固定値=γ(ct-βx)→ct=βx+固定値/γ
xを0にすればctがβx減ることになります。

③「ところで、一般的に表現すると、t’（動）＝1／γ t（静）ですが」
意味不明です。「一般的」とは何？

t′=(1/γ)t

は時空O′の中でx′=0(物体が原点で動かない)という
特殊な状況の場合に出てくる一般的ではない式です。
x′=0をローレンツ変換に入れ、xを消去して
tとt′の関係を求めてみましょう。

④これも特定の運動状況の話でしょう。
条件を確認しましょう。

⑤慣れの問題かな。
詰まるところ2X2の行列を使ったシンプルな
一次変換に過ぎません。

線形代数の知識があればローレンツ変換の
固有値/固有ベクトルを求めて見ることを
おすすめします。
大夫見通しが良くなる筈です。

この回答へのお礼

早速のご投稿有難うございました。当方は、あちこちの資料から得た知識をつぎはぎした様な状況ですので、ボロが出てしまいました。
基本に帰ってやり直したいと思います。お手数をおかけしました。大変有難うございました。

お礼日時：2022/12/11 20:27