放物運動：2物体が空中で衝突するための最低限の初速度

解法は解説を読んで理解できたのですが、計算がどのようになるのかがわかりません。

問題は次のようになっています。

水平面上の点Ａから、質量Ｍの粒子Ｐを鉛直方向上向きに速さｕで打ち上げる。
それと同時刻に、点Ａから距離Ｌだけ離れた水平面上の点Ｂから、
（図では左がＢ、右がＡ）質量ｍの粒子Ｑを打ち上げる。
粒子Ｑのはじめの速度ｖの方向は、点Ａ，Ｂを含む円直面内にある。
速度ｖが点Ａ，Ｂを結ぶ直線となす角度θをとする。
2つの粒子には重力のみが働くとする。
また粒子の大きさは無視できるとし、重力加速度の大きさをｇとする。
Ｌとｕを固定して、ｖを変化させる。
この際、ｖの大きさ（速さ）に応じてθを巧みに選び、2つの粒子を空中で衝突させたい。
「2つの粒子が水平面に落下する前に衝突するためには、
　ｖはある程度大きくなくてはならない。　この下限の速さｖを求めよ。」

解法：
ｖｓｉｎθ＝ｕ　…（1）
時刻ＴのときＰはｙ＝0とすると、
0＝ｕＴ-1/2ｇＴ＾　より　Ｔ＝2ｕ/ｇ　…（2）
Ｑが水平方向にＬ進むのにかかる時間をｔとすると、
Ｌ＝ｖｃｏｓθ・ｔ　…（3）
空中で衝突するには、Ｐが水平面に落下するまでに
Ｑは水平方向にＬ進まなければならない。
よって　ｔ≦Ｔ　…（4）
（2）（3）（4）の式から、
ｖ≧√｛ｕ＾＋（ｇＬ/2ｕ）＾｝
という答えが出るようなのですが、計算過程がわかりません。

（3）をｔについて解いて、（2）と（3）を（4）に代入するのでは駄目なんでしょうか。
それでよければ、そのあとの不等式の変形ができていないのかもしれません。
計算過程を詳しく教えていただけると嬉しいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#8027 回答日時： 2004/09/29 16:54

消去しなくてはいけない文字を減らしていくのが原則です。

>(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1に代入してvについて解くと、v = √u^2 + (L/t)^2　…（5）となると思います。

vとuの関係をだすためには、tが不要ですから、
(u/v)^2 + (L/vt)^2 =1
u^2 / v^2 + L^2/v^2*t^2 =1
両辺にv^2*t^2をかけます。
u^2 * t^2 + L^2 =v^2 * t^2
(v^2 - u^2) * t^2 =L^2
t^2 =L^2 / (v^2-u^2)
ここで、t>0なので、
t=L*√1/(v^2-u^2) ・・・・・(6)　　ただし、v≧u

という変形をします。

(2)・(6)を(4)に代入しますと、
t=L*√1/(v^2-u^2) ≦ 2u/g
明らかに、0≦L*√1/(v^2-u^2) ≦ 2u/g なので
両辺を平方します。
L^2 / (v^2-u^2) ≦ 4u^2 / g^2
vの範囲を求めたいので、vについて整理します。
L^2 ≦ (v^2 - u^2) * 4u^2 / g^2
g^2 * L^2 ≦(v^2 - u^2) * 4u^2
g^2 * L^2 ≦ - 4u^4 + 4v^2 * u^2
4u^4 + g^2 * L^2 ≦ 4u^2 * v^2
(4u^4 + g^2 * L^2) / 4u^2 ≦ v^2
u^2 + g^2 * L^2 / 4u^2 ≦ v^2
u^2 + (gL/2u)^2 ≦ v^2

左辺>0、v>0 より、両辺の平方根を取ることができます。
この時、(6)のただし書き、u≦v を満たす必要がありますが、最後の式を満たせば u≦v も自然と満たすので、敢えて２つの条件を書く必要はありません。
これで、解答の答えができます。

ちなみに、最後の答えのまとめ方は、自分がきれいだと思う形でいいので、左辺を展開したり、通分した答えでも正解だとおもわれます。




さて、おさらいです。
1) 三角関数がある場合は、(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1を用いてθを消去する。
2) 求めたい関係から不要な文字、tがある場合は、t=～～の関係式を作って、他の式に代入して消去する。
3) 求めたい関係式の中心となる v について、整理して解く（なぜなら、「Ｌとｕを固定して、ｖを変化させる」とあるので、vの範囲を求めたいのだとわかる）

この回答へのお礼

返事が遅れて申し訳ありません。
計算過程詳しく書いてくださってありがとうございます。
ただし書きはよく抜かしたりする苦手なところなので助かりました。
答えを導くための考え方も大変わかりやすかったです。

お礼日時：2004/10/01 23:36

No.3 回答者： Teleskope 回答日時： 2004/09/30 20:13

　

　
　考え方を。


１．
　X-Y座標で話します。
PとQを結ぶ線をX軸とし、それを延長した場所から 現象をながめてください。
鉛直運動だけが見えます。
　　　最初 同じ高さ y=0 です
　　　同じ加速度 g を受けます
　　　ぶつかるのだから、そのときも両者は同じ高さです。
つまり、
　　　QはPと全く同じでないと当たらない。
ゆえに
　　　Qの初速のy成分 = Pの初速のy成分すなわちu
になるよう θを巧みに調整する。



２．
　次に視座を変えて PとQを横から見ます。Qの速度Vは；

　　Vy　　　V^2 = Vy^2＋Vx^2
　　　|　 ／
　　　|／
　　　 ￣￣ Vx

Vy は一定値 u なので、Vxが小さいほど V は小さい。
下図で、Pが着地する寸前ギリギリに届く Vx が最低です。これで ≧ の意味が分かりますね。

　　　　　　　Q　　　　　　　P
　　　　　　　 ．　　　　　　∩
　　　　　・　　　　・　 　 　| |
　　　・　　　　　　　 ・　　 | |
　　・　　　　　　　　　 ・　 | |
　 ・　　　　 　 　　 　 　・↓|
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 ←─── Ｌ ───→



３．
　ギリギリの時のVxを求めましょう。
P が昇って落ちるまでの時間 t は、
　　ｙ = ut - (1/2)gt^2 = 地面だからゼロ
から簡単に出ますね、
その時間ぜんぶ使って 距離 Ｌを走る。速度は…

　　V^2 = u^2 + Vx^2

あとは自力で。
　
　

No.1 回答者： noname#8027 回答日時： 2004/09/29 09:31

まず、θを消すのが先決です。

(1)からsinθ= の式に変形し、
(3)からcosθ= の式に変形し、
（sinθ）^2 + （cosθ）^2 = 1
に代入しましょう。

あとは、(2),(4)を使って、いらない文字を消去すればいいと思います。

この回答への補足

(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1に代入してvについて解くと、v = √u^2 + (L/t)^2　…（5）となると思います。
(2),(4)からt≦2u/gで、(5)に代入すると、分母により大きい数が入るので全体としては右辺は小さくなり、
v≧√～　となる、という考えであっていますか？

補足日時：2004/09/29 11:04