ローレンツ変換に関する問題です

η_{μν}Λ^μ_ρΛ^ν_σ=η_{ρσ}
から、
Λ^ν_σΛ^κ_τη^{στ}=η^{νκ}
を導け。ここに、η=diag(-1, 1, 1, 1) Λ^μ_ρは、ローレンツ変換を表す４次正方行列の成分である。
第一の式にη^{στ}Λ^κ_τをかけ、さらに行列η_{μν}Λ^μ_ρの逆をかけると得られるそうですが、私はうまく計算できません。

No.2 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2021/09/13 01:54

あまり見ない式のように思ったので区別してないのかなと思いましたが、分かってて書いてるとの事なので書いてある式の通りに解釈します。

μν成分がΛ^μ_νである行列をΛ、η_μνである行列をηとすると、

> η_{μν}Λ^μ_ρΛ^ν_σ=η_{ρσ}
これはΛ^t η Λ=ηと書けます。…①

示したい式は
>Λ^ν_σΛ^κ_τη^{στ}=η^{νκ}
Λ η^(-1) Λ^t =η^(-1)です。…②

> 第一の式にη^{στ}Λ^κ_τをかけ、さらに行列η_{μν}Λ^μ_ρの逆をかけると得られる
これは①式の両辺に右からη^(-1)Λ^tをかけて、左から(Λ^tη)^(-1)をかけると言ってます。
かけた結果が②になる事はほぼ明らかでしょう。

この回答へのお礼

よくわかりました。ありがとうございました。

お礼日時：2021/09/13 11:04

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2021/09/12 18:17

Λ^μ_ρと書くかΛ_μ^ρと書くか(TeXなどでの出力後の表記でいうと、上付き添字と下付き添字のどちらがより左側にあるか)で違う意味を持たせる事もありますが、

そういう区別があるとは知らずにどちらもΛ^μ_ρという同じ記号で表記していたりはしませんか？それともそういう区別がある事を知った上でその式を証明したいと言ってますか？

この回答へのお礼

もちろん、Λ^μ_ρとΛ_μ^ρは全く違うものだということは心得ております。

お礼日時：2021/09/12 19:16