開区間(a,b)はコンパクトでないことと、閉区間[c,d]がコンパクトであることがわかっている状況で

開区間(a,b)はコンパクトでないことと、閉区間[c,d]がコンパクトであることがわかっている状況で、[a,b)がコンパクトでないことを示したいです。以下の証明の添削をお願いします。

[a,b)はa<c<bを満たすcによって[a,c]∪(c,b)と表せる。このとき、[a,c]はコンパクトであるから、任意の開被覆Uから有限個の元u1,...unを選び、[a,c]を被覆することができる。
一方で(c,b)はコンパクトでないから、有限個の元で(c,b)を被覆できない開被覆Vが存在する。よってV’=V∪{u1,...,un}は[a,b)の開被覆であるが、[a,b)を有限個で被覆できないため、[a,b)がコンパクトでないことが示された。

また訂正した箇所について修正が与えられそうならば添えていただけると嬉しいです

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/11/26 17:32

R=(全実数の集合)

N=(全自然数の集合)
a∈R
b∈R
a<b
とする
n∈Nに対して
(a-1/n,b-1/n)={x∈R|a-1/n<x<b-1/n}
とすると
[a,b)⊂∪_{n∈N}(a-1/n,b-1/n)
だから
V'={(a-1/n,b-1/n)}_{n∈N}
は
[a,b)の開被覆
だけれども

任意の自然数nに対して
m>n+1/(b-a)となる自然数mが存在して
x=b-1/mとすると
1/(b-a)<m
1/m<b-a
a<b-1/m<b
b-1/n<b-1/m<b
max(a,b-1/n)<b-1/m<b
max(a,b-1/n)<x<b
だから
x∈[a,b)-∪_{k=1～n}(a-1/k,b-1/k)≠φ
だから
[a,b)をV'の要素の有限個で被覆できないから
[a,b)がコンパクトでない

No.1 回答者： cage64 回答日時： 2020/11/26 14:01

>V’=V∪{u1,...,un}は[a,b)の開被覆であるが、[a,b)を有限個で被覆できない

がダメです。
u1,..,un の中にはc の近傍があるはずで、それを持ってくると、Vの中から有限個で覆えるかもしれません。
具体的には、 b>c+1 として、
V={(c+1/n,b)|n∈N}　とすれば、Vの有限個では (c,b)は覆えません。
[a,c]の被覆のうち、cの近傍の１つが、例えば、(c-1/k,c+1/k)を含むとすれば、これとVのうちの有限個（{(c+1/n,b)|n=1,2,..,k+1})で(c,b)は覆えます。

私には、この証明を簡単に修正する方法は思いつきません。