高1 数Aの不定方程式と互除法について。 教科書の問題で、数の大きい時（簡単に整数解が求められない時

高1 数Aの不定方程式と互除法について。
教科書の問題で、数の大きい時（簡単に整数解が求められない時）の整数解の求め方についてなのですが、
教科書にはこう書いてありました↓

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31x＋14y＝1

31＝14×2＋3 より　3＝31−14×2…①
14＝3×4＋2 より　2＝14−3×4…②
3＝2×1＋1 より　1＝3−2×1…③

③より、3−2×1＝1…④
④の2を、②で置き換えると
3−(14−3×4)×1＝1
ゆえに、3×5−14＝1…⑤
⑤の3を、①で置き換えると
(31−14×2)×5−14＝1
ゆえに、31×5−14×11＝1

よって、不定方程式31x＋14y＝1の整数解の一つは
x＝5、y＝−11

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④の2を②で置き換えると〜の所までは分かります。
ただ、そこから何故⑤になるのかが分かりません。
何故⑤で×5が出てきたのか、どれだけ考えてもわかりません。
分かる方おられましたら教えて下さると嬉しいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/11/29 21:10

数字だけを見るのではなく、もう少し広い視点で見ると分かるよ。

3-(14-3×4)×1=1
3-14+3×4=1
3×4+3-14=1
3×4+3×1-14=1
3×(4+1)-14=1
3×5-14=1

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2020/11/30 14:24

＞どれだけ考えてもわかりません。

普通に計算しているのです。
一部の数字を 文字と同じように扱いますから、
慣れないと 分かり難いかもしれませんね。
3−(14−3×4)×1＝1
3-14+3x4=1
3+3x4-14=1
3x5-14=1 。
上の 3 に ①の式を代入すれば
31x5-14x11=1 になりますね。

分かり難かったら、「ユークリッドの互除法」
等の キーワードで ネット検索してみて下さい。

No.4 回答者： タムシバ 回答日時： 2020/11/30 07:01

3-（14-3×4）×1＝1　ここまでは，置き換えたままですので，おわかりですね。

次に，3は，3＝3×1と考えると
3×1-（14-3×4）×1＝1
（3×1）-14+（3×4）×1＝1
ここで，3×4＝（3×1）×4と考えると
①は（3×1）が全部で5個あるので回答文の⑤になります。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/29 22:01

割られる数と割る数の最大公約数＝割る数とあまりの最大公約す

これがユークリッドの要点ですよね
そこで、基本公式：(割られる数)＝(割る数)x(商)＋(あまり)に
割られる数31と割るかず14を当てはめたのが
31=14x2+3 　で
ここから（あまり）＝　の形にしたのが
3=31-14x2にしたのが…①ですよね
以下同様に　割る数を割られる数に見立て、余りを割る数に見立てて基本公式へ次々に当てはめて　
あまり＝　に直したのが②、➂です
ユークリッドの互除法により　31と14の最大公約数は　この2数の割り算のあまり３を用いて14と３の最大公約数に等しく
14と３の最大公約数は　この2数の割り算のあまり２を用いて　3と2の最大公約数に等しく
３と２の公約数は　２とあまりの１の最大公約数に等しい
これを書き並べたのが①～➂式ですよね
で、これら3式を逆順にたどって、次々とその余りを代入（置き換え）していくというのが
その次の段階なのです　←←←ここが要点！！！
④は➂の左右を入れ替えただけなのであまり意味はありませんので
3つ目の式を　あまり＝の形に直した
1＝3−2×1…③　からすたーとして
これに　2つ目の式の　あまり２＝を代入で
1=3-(14−3×4)x1
⇔1=3-14+4x3・・・(A)
共通因数３でくくりだすと3+4x3=3x(1+4)=3x5だから
(A)の右辺の3がつく項をまとめれば
1=(3+4x3)-14
⇔1=3x5-14・・・⑤'
先ほど述べたように、あまり＝　を逆順に代入していくという作業の続きをするために
3＝31−14×2…①　を5'の3へ代入（３を31-14x2に置き換え）
1=(31−14×2)x5-14
ということなのです

ここからは、先ほどの要領で　-14がつく項をひとまとめにして
ゆえに、31×5−14×11＝1　（1=31×5−14×11)
これで　31x-14y=1 にx=5,y=11を代入した形
つまり解の一つ(x,y)=(5,11)を見つけられる形ができました
このように　ユークリッドの利用で、あまり＝　を逆順に順次代入して不定方程式の解を見つけているというのが教科書が述べたいことなのです

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/29 21:17

左辺を 3 と 14 についての一次式として整理しています。

3 − (14 − 3×4)×1 = 3 − 14×1 + 3×4
　　　　　　　　= 3×(1 + 4) − 14×1
　　　　　　　　= 3×5 − 14
2 へ値を代入とか、互除法の途中で出てくる余りを
変数であるかのように扱っているんです。