電気回路について質問です。

（１）R と C の直列接続の回路で、それぞれの電圧の実効値が |V˙R| =
12V と |V˙C| = 5V のとき、入力信号電圧の実効値はいくらか？
(a) −7V (b) 7V (c) 13V (d) 17V
（２） i1(t) = 4 sin(ωt + 30◦)A, i2(t) = −5 cos(ωt − 20◦)A のとき、これらの電流の和をフェザーを用いて求めよ。
（１）の答えは(b)ですか？
それと（２）の答えが 3.218 sin(ωt − 56.97◦)Aになるのですが、どのようにして求めたのですか？
回答お願いします。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/04 15:29

(1)「V˙R」「V˙C」でおのおの「１つ」のパラメータを意味するということでしょうか？

電流の位相を基準にした「複素数表記」をすれば
　V˙R = 12[V]
　V˙C = -j5[V]
になりますから、その「直列」合成電圧は
　V = V˙R + V˙C = 12 - j5 [V]
となります。

その実効値は
　|V| = |V˙R + V˙C| = |12 - j5| = √(12^2 + 5^2) = √169 = 13 [V]

＞（１）の答えは(b)ですか？

違いますね。(b) と考えた根拠は何ですか？

(2) 「A」は「単位：アンペア」ですか？　記号を使った式では、数式の記号と「単位」をきちんと区別しないとグダグダになりますよ？

i1(t) = 4sin(ωt + 30°) [A]
i2(t) = -5cos(ωt - 20°)
　　 = -5sin[ωt - 20° + 90°]
　　 = -5sin(ωt + 70°) [A]

ですね？　これをフェザー表記すれば
　I1 = (4/√2)[cos(30°) + j･sin(30°)] = (2√3)/(√2) + j(2/√2)
　　= √6 + j√2
　I2 = (-5/√2)[cos(70°) + j･sin(70°)]
　　= -(5/√2)cos(70°) - j･(5/√2)sin(70°)]

この２つを足し合わせろと言われたら、cos(110°)やsin(110°)、√6 や √2 を数値に置き換えてしこしこ計算するしかないです。

√6 ≒ 2.4495, √2 ≒ 1.4142
(5/√2)cos(70°) ≒ 1.2092
(5/√2)sin(70°) ≒ 3.3223

なので
　I1 = 2.4495 + j1.4142
　I2 = -1.2092 - j3.3223
よって
　I = I1 + I2 = 1.2403 - j1.9081
これより
　|I| = √[1.2403^2 + (-1.9081)^2] = √5.1791897･･･ ≒ 2.2758
これは「実効値」なので、波高値にすると
　2.2758 × √2 = 3.21846･･･ ≒ 3.218

また、位相角は
　tanθ = -1.9081/1.2403
より
　θ = arctan(-1.9081/1.2403) = -56.9753･･･ ≒ -56.98[°]

従って、求める合成電流は
　i(t) = 3.218*sin(ωt - 56.98°)

こんな数値計算、やってもほとんど意味がありませんから、そういうもんだと思ってもらえればよいです。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/12/04 15:23

(1)交流回路なのでベクトル図を書いて（フェーザを用いて）考えます

直列回路なので　RとCに流れる複素電流(・I)は共通です
交流回路なので電流は複素電流（電流の複素数表示、フェーザ）を考えます　
電流を位相の基準に取ると交流回路のオームの法則から
・Vr=R(・I) だから　・Iと・Vrの位相は同じ
・Vc=(1/jωC)(・I)=-j(1/ωC)(・I)だから　・Vcの位相は電流より
π/2遅れている（ωは角周波数）
ゆえに・Vcは・Vrよりπ/2だけ位相が遅れています
そのような位相関係と、Vrの大きさ|・Vr|=12
Vcの大きさ|・Vc|=5
を踏まえてベクトル図（フェーザ図）を書くと
電源複素電圧(・E)=(・Vr)+(・Vc) より
ベクトル計算をして
|・E|²=|・Vr|²+|・Vc|²=12²＋5²＝169（←←←ベクトル図を見て三平方の定理を適用した結果）
ゆえに|・E|=13Vが得られます

(2)
瞬時値がi1= 4 sin(ωt + 30◦) =√2{2√2sin(ωt + 30◦) }で表されるとき
実効値は2√2 位相角は30°なので
これをフェーザ表示すると
(・I1)=2√2e^(j30°)

i2=-5 cos(ωt − 20◦)
=-5cos(ωt+70-90)
=-5sin(ωt+70)
=5sin(ωt+70+180)
=5sin(ωt+250)
=√2{(5/√2)sin(ωt ＋250)}
より
（・I2)＝(5/√2)e^(j250)
ベクトル図を書いて眺める
ただし、複素数平面上で、縦軸と横軸の交点をO
・I1はOから点Aに伸びるベクトル（フェーザ）、・I２はOから点Bへ延びるベクトルだとする
求めるべき(・I1)＋(・I2)はベクトル図上では
OAとOBを2辺とする平行四辺形OBCAの対角線OCになるので
△OBCに余弦定理を適用して解決をはかる
BC=|・I1|=2√2
OB=|・I2|=(5/√2)　　で
平行線の錯角を利用するなどして求めれば
∠OBC=(250-180)-30=40　だから
cos40=0.766として
余弦定理より
OC^2=OB^2+BC^2-2OB・BCcos40
=(25/2)+8-20x0.766
=5.18
OC=√5.18＝2.28
△AOCに余弦定理適用で
cos∠AOC=(OA^2+OC^2-AC^2)/(2OA・OC)
=(8+5.18-12.5)/(2x2√2x2.28)
=0.68/12.9
=0.0527
⇔∠AOC=arc(cos0.0527)
⇔∠AOC=86.98°・・・この角度の求め方は計算機利用
ゆえに、OCが横軸となす角度は　86.98-30=56.98°（ただし、OCはx軸より下側へ延びている）
以上から(・I1)＋(・I2)の大きさはOC=2.28,偏角は-56.98°なんで
(・I1)＋(・I2)=2.28e^(-j56.98°)
これを瞬時値に直して
i1+i2=√2x2.28sin(wt-56.98)=3.22sin(wt-56.98)
ただし　私の解法と模範解答の間には多少の丸め誤差がありますので
わずかに数値が異なっています