わかりません・・・おしえてください・・できるだけわかりやすく・・くわしく・・・おねがいします・・

2x(2乗)-mnx+m+n=0 の解が自然数のとき 自然数m、nを求めよ

A 回答 (2件)

まず、問題として、「2解とも」自然数とさせていただきます。


そうじゃ無い場合は、この解答は無視してください。(汗)

実はめちゃくちゃトリッキーなことをします。

まず、mとnは対称なのでm≦nとします。
また2つの解をa,bとしてa≦bとします。

解と係数の関係よりa+b=mn/2, ab=(m+n)/2
ここで、a+bは整数よりmnは偶数→mとnのどちらかは偶数→m+nも偶数なので結局どちらも偶数
(この問題を解く人ならここまでは来てほしいところ)

よって、m=2m', n=2n'とおきます。(m', n'は正の整数)
→a+b=2m'n', ab=m'+n'(※1)


さて、ここからがトリッキーなのですが
a,bは正の整数より、a≧1, b≧1→(a-1)(b-1)≧0
展開して(※1)を代入するとm'+n'-2m'n'+1≧0
これを(整数問題でよくある式変形をして)
(2m'-1)(2n'-1)≦3
とします。すると、2m'-1, 2n'-1はいずれも正の奇数でm'≦n'より
これを満たすのは(m', n')=(1,1), (1,2)しかありません。

このうち(a,b)も整数となるのは(m', n')=(1,2)の場合のみですから

答えるときは、こちらで勝手に条件にいれたm≦nの条件もはずして
(m,n)=(2,4), (4,2)のとき、x=1,3
    • good
    • 0

mとnは対称なのでm≦nとすると


    (m, n) = (1, 9), (1, 11), (2, 4), (3, 7)
の4パターンになりそうです。
(対称性をはずせば8パターン)

バソコンでm、nをそれぞれ1から100まで走査して計算させた結果であって、
証明は考えてません。

ご参考までに。
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qmを自然数,nを奇数とするとき,2(1^n+2^n+…+m^n)がm(m+1)で割り切れる

mを自然数,nを奇数とするとき,2(1^n+2^n+…+m^n)が m(m+1)で割り切れることを証明したいのですが、あることに気づく必要があるといわれたのですが、それがどうもよくわかりません。

また、nが偶数のときには、何か別の性質があるのでしょうか?

Aベストアンサー

自然数をmで割った余りで分類する(剰余類)方法が分かっていればさほど難しい問題ではないですね

mが奇数なら自然数nはkを自然数として
n=mk,mk±1,mk±2,…,mk±(m-1)/2
mが偶数なら
n=mk,mk±1,mk±2,…,mk±(m-2)/2,mk+m/2
と表現できることに注意しましょう。


剰余で分類する問題だと、例えば

3で割り切れる数、3で割って1余る数、3で割って2余る数

のように分けることが多い気がしますが、3で割って2余る数を
3k+2=3(k+1)-1 (k=0,1,2,…)
と見れば
3k-1 (k=1,2,3,…)
と表現してもいいな、と分かりますね。
こう見るとnが奇数に限定されている理由も見えてくると思います。

余裕があったら、合同式などについても調べてみるといいかと思います。

Qnを自然数とするとき、n^5/5+n^4/2+n^3/3-n/30が自然数であることを証明せよ。

高校数学の教科書の数列のところの一番最後の一番難しい章末問題で
nを自然数とするとき、n^5/5+n^4/2+n^3/3-n/30が自然数であることを証明せよ。
って問題なんですが、とりあえず数学的帰納法で解くんだろうけど全然解けそうにないです。
月曜日までにやってこないとやばいので、だれか助けてください!!

Aベストアンサー

因数分解すると
n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
=n(n+1)(2n+1){3n(n+1)-1}/30
n、n+1のどちらかは必ず2の倍数

n,n+1のどちらも3の倍数でないのは
n=3k+1のときで(kは整数)
2n+1=6k+2+1=6k+3=3(2k+1)
なので、このとき、(2n+1)は3の倍数。
結局、n(n+1)(2n+1)は6の倍数になる。
また、
n=5k+m(kは整数、m=0,1,2,3,4)
とおけば
3n(n+1)-1=15k(5k+2m+1)+3m^2+3m-1
m=0のとき
n=5k
m=1のとき
3n(n+1)-1=15k(5k+3)+5
m=2のとき
2n+1=10n+4+1=5(2n+2)
m=3のとき
3n(n+1)-1=15k(5k+7)+35
m=4のとき
n+1=5k+4+1=5(k+1)
となり、必ず5の因数を含む。
したがって、
n(n+1)(2n+1){3n(n+1)-1}
は30の倍数となる。

Q任意の自然数m,nが互いに素で、10x,10yが自然数かつm^2+n^

任意の自然数m,nが互いに素で、10x,10yが自然数かつm^2+n^2=x^2+y^2を満たす組み合わせは?

以前の質問↓で
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6158436.html
このような点(x,y)を求めるのには、ピタゴラス数a,b,cを用いて
 x=(am+bn)/c, y=(an-bm)/c
として求める方法を教えていただきました。
しかし、ここで教えていただいた方法で明らかに使えるとわかるのは
(a,b,c)=(3,4,5)だけであり、選択肢の少なさに不自由しています。

更に別の質問
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6161948.html
により、ピタゴラス数を用いて回転した点以外には、有理点は存在しないことから
10x,10yが自然数となるような数の組み合わせは
 x=(am+bn)/c や y=(an-bm)/c を約分したら、ともに分母が1,2,5,10のいずれかになる
しか無いと思います。

このようなa,b,cの組み合わせを見つけるにはどうやったら良いでしょうか?

Aベストアンサー

x:yがちょうどピタゴラス数になっていれば、割り切れるのでは?

Q4m+3n=24k+2 (m、nは自然数)

4m+3n=24k+2 (m、nは自然数)
この式をみたす自然数kが存在するとき、m+nが最小となる組(m、n)を求めよ。

という問題で、解答が
k≧2のとき、与式を満たす(m,n)について
4(m+n)>4m+3n≧24*2+2 から m+n>7

とあるのですが、なぜこういえるのでしょうか?

Aベストアンサー

こんばんわ。

この解答ですが、「伏線」がありますよね?
その「伏線」というのは、最小値は k= 1のときに m+ n= 7(m= 5, n= 2)となるという内容です。

4(m+ n)> 4m+ 3n≧ 50からは、m+ n> 50/4= 12.5ということしか言えません。
つまり、
「k≧ 2のときには、どうやっても m+ nが 7より小さくなることはない。
だから、m+ nが最小となるのは k= 1のときである。」
ということを示すものとして、解答のような表現がされているだけだと思います。

そもそも何を示そうとしているのか(全体の流れ)を把握していないといけません。
解説などがあれば、まずはそこからどういう流れを作ろうとしているのかをしっかり読むようにしてください。
局所的に見てしまうと、いまのように、はまってしまいますよ。^^;

Q任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような

任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような正の有理数p,qの組み合わせ
を見つけることは可能ですか?
更に言いますと、数学的な要求でなくてすみませんが
できればp,qは小数第3位くらいまでで表せる数だと一番いいのですが。

一応、↓の質問の続きです。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6156285.html

Aベストアンサー

#3です。前の回答は考えすぎていました。


a^2+b^2=c^2
となるピタゴラス数が1組あれば、

(am+bn)^2+(an-bm)^2
=(am)^2+2abmn+(bn)^2+(an)^2-2abmn+(bm)^2
=(am)^2+(bm)^2+(an)^2+(bn)^2
=(cm)^2+(cn)^2

∴m^2+n^2={(am+bn)/c}^2+{(an-bm)/c)}^2


ピタゴラス数の組を変えればいくらでも見つかります。

a=3,b=4,c=5
a=7,b=24,c=25
とすれば小数第2位以内で表せます。


このカテゴリの人気Q&Aランキング

おすすめ情報