わかりません・・・おしえてください・・できるだけわかりやすく・・くわしく・・・おねがいします・・

2x(2乗)-mnx+m+n=0 の解が自然数のとき 自然数m、nを求めよ

A 回答 (2件)

まず、問題として、「2解とも」自然数とさせていただきます。


そうじゃ無い場合は、この解答は無視してください。(汗)

実はめちゃくちゃトリッキーなことをします。

まず、mとnは対称なのでm≦nとします。
また2つの解をa,bとしてa≦bとします。

解と係数の関係よりa+b=mn/2, ab=(m+n)/2
ここで、a+bは整数よりmnは偶数→mとnのどちらかは偶数→m+nも偶数なので結局どちらも偶数
(この問題を解く人ならここまでは来てほしいところ)

よって、m=2m', n=2n'とおきます。(m', n'は正の整数)
→a+b=2m'n', ab=m'+n'(※1)


さて、ここからがトリッキーなのですが
a,bは正の整数より、a≧1, b≧1→(a-1)(b-1)≧0
展開して(※1)を代入するとm'+n'-2m'n'+1≧0
これを(整数問題でよくある式変形をして)
(2m'-1)(2n'-1)≦3
とします。すると、2m'-1, 2n'-1はいずれも正の奇数でm'≦n'より
これを満たすのは(m', n')=(1,1), (1,2)しかありません。

このうち(a,b)も整数となるのは(m', n')=(1,2)の場合のみですから

答えるときは、こちらで勝手に条件にいれたm≦nの条件もはずして
(m,n)=(2,4), (4,2)のとき、x=1,3
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mとnは対称なのでm≦nとすると


    (m, n) = (1, 9), (1, 11), (2, 4), (3, 7)
の4パターンになりそうです。
(対称性をはずせば8パターン)

バソコンでm、nをそれぞれ1から100まで走査して計算させた結果であって、
証明は考えてません。

ご参考までに。
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