二次関数について。

a,bを実数とする。2次関数f(x)=x^2+ax+bを考える
(1)実数α,βがf(α)＝β、f(β)＝α、α≠βを満たすとき、α＋βとαβをa,bを用いて表せ
(2)f(α)＝β、f(β)＝α、α≠βをみたす実数α、βが存在するためのa,bについての条件を求めよ
という問題が分かりません。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

質問者からの補足コメント

• 

  すみません。α＋βを、a,bで表すのはどこに書いているのでしょうか？教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/10/09 19:35

No.4 ベストアンサー 回答者： 20170130 回答日時： 2018/10/09 22:32

bは使っていませんが

①-② から　(α-β)=-(α^2-β^2)-(α-β)a
　α≠βなので　1=-(α+β)-a

No.3 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/10/09 15:02

やっぱ計算間違ってました、、、

（α+β）²＝α²+β²+2αβですね。
なんで、、、
α²+β²+a（α+β）+2b≠(α+β)²+(a-2)（α+β）+2b
ですので、ANo.1は誤りです。
申し訳ありませんでした。

No.2 回答者： 20170130 回答日時： 2018/10/09 13:54

(1)

α = f(β) = β^2+βa+b ①
β = f(α) = α^2+αa+b ②

①と②の連立方程式を①-②と①+②の連立方程式と考えてみる

①-② から　(α-β)=-(α^2-β^2)-(α-β)a
　α≠βなので　1=-(α+β)-a
①+② から　(α+β)=(α^2+β^2)+(α+β)a+2b
　(α^2+β^2)=(α+β)(1-a)-2b ：上で求めた α+β=-(1+a)を代入すると
　(α^2+β^2)=a^2-2b-1

2αβ=((α+β)^2)-(α^2+β^2) だから
αβ=a+b+1

となりました

(2)
(1)の結果から、解と係数の関係で、α,βを解とする二次方程式ができて
その二次方程式が異なる解を持つ条件がa,bの条件とすると

(a-1)^2 > 4(b+1) となりました（どの形が良い（きれい）かは個人の感覚）

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/10/09 12:57

(1) α+β＝f(β)+f(α)=α²+β²+a（α+β）+2b=(α+β)²+(a-2)（α+β）+2b

（α+β）²+（a-3）（α+β）+2b=0
（α+β）={-(a-3)±√[（a-3）²-8ｂ]}/2

(2) （a-3）²-8ｂ>0

（計算間違いがないなら）こういうことじゃないかなぁ？