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一次不定方程式 8086x − 32435y = 13 の一般解を求めよ.
一次不定方程式 205x − 305y + 310z = 5 の一般解を求めよ.

数学が苦手なので得意な方教えてください!

A 回答 (3件)

具体的に、質問の例へあてはめてみましょうか。


8086x − 32435y = 13 ←[0] の場合、

8086, 32435 の最大公約数は、互除法
32435 = 8086・4 + 91,
8086 = 91・88 + 78,
91 = 78・1 + 13,
78 = 13・6.
より、割り切った除数 13 です。
これを使って、[0] は
622x - 2495y = 1 ←[1] と同値変形できます。
これを満たす x,y の例ですが、
互除法の途中式を
13 = 91 - 78・1,
78 = 8086 - 91・88,
91 = 32435 - 8086・4
と変形して中間の余りを次々代入消去してゆけば、
13 = 91 - 78・1
  = 91 - (8086 - 91・88)
  = 91・89 - 8086
  = (32435 - 8086・4)・89 - 8086
  = 8086(-357) + 32435・89 ←[4]
と判ります。
[0] と [4] を左辺ごと右辺ごとに引き算すれば、
8086(x + 357) = 32435(y + 89)
が得られ、
x = -357 + 32435k, y = -89 + 8086k (kは整数)
が解となります。
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よく知られた解法がある問題を解くのは、


単なる作業であって、考える部分がありません。
解法を知ってるか知らないか、知ってたとして
やるかやらないかだけです。
メンドクサイは言わないほうが身のためでしょう。

一次不定法定式 ax + by = c ←[0] の解法:
(1)
a, b の最大公約数 d を求め、
式を (a/d)x + (b/d)y = c/d ←[1] と変形する。
右辺が非整数なら解なし。
整数なら以下の解法で解く。

d は小学校で教わった筆算で求めてもよいし、
ユークリッドの互除法を使ってもよい。

(2)
[1] を改めて Ax + By = C ←[2] と書く。
A, B, C は整数である。
[2] の解を一組見つける。

これは、勘で発見してもよいし、
連分数を使った解法などもあるが、
d を求めるとき互除法で求めていれば
副産物として既に見つかっている。
(この方法を「拡張互除法」とか呼ぶお調子者もいる。
単なるユークリッドの互除法なのだが。)

その解を (x,y) = (x₀,y₀) とする。
Ax₀ + By₀ = C ←[2’] である。

(3)
左辺ごと右辺ごとに [2] - [2’] を行うと、
A(x - x₀) + B(y - y₀) = 0 となる。
移項して A(x - x₀) = - B(y - y₀).
両辺は A, B の公倍数であり
d の定義より A, B は互いに素だから
A(x - x₀) = - B(y - y₀) = ABk となるような
整数 k が存在する。よって
x = x₀ + Bk, y = y₀ - Ak ←[3] と書ける。

以上は必要条件だが、これが十分条件でもあることは
[3] を [0] へ代入してみれば確認できる。
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ひょっとして「整数の解」みたいな条件が付いているのでは? これだけだと解は無限個存在するわけですから、一般解などと言われても元の式を



y=ax+b

の形に変形するぐらいしかできないのではと思います。
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