数II 微分積分
問 a≧0とする。関数f(x)=|x³-3a²x|の0≦x≦1における最大値M(a)を求めよ。また、M(a)を最小にするaの値とその最小値を求めよ。
答 最大値M(a)
0≦a<1/2のときM(a)=1-3a²
1/2≦a≦1のときM(a)=2a³
1<aのときM(a)=3a²-1
M(a)を最小にするaの値とその最小値
a=1/2のとき最小値1/4
この問題の答えの導き方が分かりません。なのでどなたか解法を詳しく教えて頂けると嬉しいです。おねがいします!
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
まずは、y=x³-3a²x のグラフをかきます。
y'=3x²-3a²=3(x+a)(x-a)
増減表をつくります。
y=x³-3a²x=x(x+√3a)(x-√3a)
x軸との交点のx座標は、x=0 , -√3a , √3a
このグラフをかき、yが負の部分はx軸に関して対称移動すると y=|x³-3a²x| のグラフになります。
x≧0のとき、y=|x³-3a²x| のグラフ
x=0 のとき、y=0
x=0 から x=a まで増加し、x=a のとき、y=2a³
x=a から x=√3a まで減少し、x=√3aのとき、y=0
x=√3a からは増加(x=2a のとき、y=2a³)
( x³-3a²x=2a³ とおいて、この式を整理して因数定理を利用して、
(x+a)²(x-2a)=0 x≧0 より、x=2a)
問題は、0≦x≦1における f(x)=|x³-3a²x| の最大値なので、x=1 の場所がこのグラフのどこにあるかで最大値が変わります。
[1] 1<a のとき、0≦x≦1で y=f(x) のグラフは単調増加なので、x=1 のとき最大値をとります。M(a)=f(1)=|1-3a²|=3a²-1
[2] a≦1 のとき、最大値となる可能性があるのは、f(a)=f(2a)=2a³か、2a<1 のときは、それよりも f(1) の方が大きくなります。よって、次の2つの場合に分かれます。
(ⅰ)2a<1 のとき、つまり、0≦a<1/2 のとき、M(a)=f(1)=|1-3a²|=1-3a²
(ⅱ)1/2≦a≦1 のとき、M(a)=f(a)=2a³
(1) 0≦a<1/2 のとき、M(a)=1-3a²
(2) 1/2≦a≦1 のとき、M(a)=2a³
(3) 1<a のとき、M(a)=3a²-1
このグラフをかきます。(簡単な2次関数、3次関数なのでこのままかいてつなげます)
a=0 のとき、M(0)=1
a=0 から a=1/2 まで減少し、a=1/2 のとき、M(1/2)=1/4
a=1/2 からは増加 (a=1 のとき、M(1)=2 )
したがって、M(a)の最小値は 1/4 (a=1/2 のとき)
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