無限の平方根？

こんにちは。

数列a(n+1) = (1+a(n))^(1/2)
a(1) = 1
で、a(n)の極限値を知りたいのです。
何かいい方法はありますか？

また、このような問題を一般的に解くことは可能ですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ryn 回答日時： 2005/02/12 03:43

今の場合は

　lim[a(n)] = (1+√5)/2
となります．

よくやるように
　y = x
　y = (1+x)^(1/2)
のグラフを書けばどこに収束するかがすぐにわかります．

参考URLにも似たような例題がありました．

参考URL：http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/s3sir20 …

No.5 回答者： yaksa 回答日時： 2005/02/12 04:06

この数列は、単調増加で、かつ、a(n)<2 であることを帰納法等ですぐに証明できるので、収束します。

極限値を知りたいだけなら、＃２さんのように
x=(1+x)^(1/2)
を解いて、
x=(1+√5)/2
です。

一般項を求められないものかと、いろいろやってみましたが挫折しました。
収束値がいわゆる「黄金比」というやつなので、なんとかして３項漸化式にしてフィボナッチ数列がでてこないものかと考えてみたのですが。。

この回答へのお礼

そうですね！
たしかに黄金比になりますね。
一般項が求められたらおもしろいですね！

今回はどうもありがとうございました。

お礼日時：2005/02/12 04:44

No.4 回答者： ryn 回答日時： 2005/02/12 03:51

念のため．

#2 さんのようにするときは
初期値に気をつけてください．

a(1) > (1+√5)/2
の場合は発散します．

この回答へのお礼

＞a(1) > (1+√5)/2
＞の場合は発散します．

確かにそうですね。

ニュートン法みたいなものですか・・・

どうもありがとうございました。

お礼日時：2005/02/12 04:41

No.2 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2005/02/12 03:42

a(n+1)=a(n)ってことだから

x=√(1+x)
x^2=1+x
x^2-x-1=0
x=(1+√5)/2

この回答へのお礼

確かにそうですね＾＾；

気づかなかった私がバカでした（笑）

お礼日時：2005/02/12 04:22

No.1 回答者： proto 回答日時： 2005/02/12 03:34

エクセルで計算したら

1.618033989
あたりに収束しそうな感じです

一般項は求められなさそうな感じですが
詳しくはわかりません