星の等級を求める問題を解いたのですが途中で分からなくなりました。わかる方よろしくお願いします。

一等星のカペラ（ぎょしゃ座α星）は連星で、明るい星の実視等級は0.71等級、暗い星は0.96等級である。この二つを合わせたカペラ全体の明るさは何等級になりますか。」
ヒント：ポグソンの式をつかう。

m1=0.71等　L1・・・・・(1)
m2=0.96等　L2・・・・・(2)
カペラ全体 m＝？　　　Ｌ＝L1＋L2として・・・・・(3)

解　m1=0.71　 L1
ｍ=? 　 L=L1＋L2
ホグソンの式　n-m=(5/2)log(Lm/Ln)に代入すると、
ｍー0.71＝5/2・(logL1/L1＋Ｌ2)
ｍ＝0.71＋5/2・？？？？

No.2 ベストアンサー 回答者： mide 回答日時： 2021/01/17 18:52

星の等級というのは，公式から分かるように10を底とした対数に5/2（あるいは2.5）をかけた数値です。

明るさの和は対数である等級のままでは足し算できないので，一旦対数から元の数に戻して足し算をし，それをまた対数を使って等級に戻すという計算をします。

m1=0.71等　L1・・・・・(1)
m2=0.96等　L2・・・・・(2)

ですから2つの星の明るさの比を計算するためにまず等級の差を計算します。

m1 - m2 = -0.25

これは対数に2.5をかけた数値ですから元の明るさに直すと

10^(-0.25/2.5) ≒ 0.794

つまり暗い星の明るさは明るい星の明るさの0.794倍ということです。

L，つまりこの2つの星の明るさは両者を足したものなので，1+0.794で明るい星の1.794倍です。
L1/(L1＋Ｌ2) は明るい星の明るさを和で割ったものであり，上記の逆数と同じで0.557です。

あとは代入するだけですが，計算の途中も見ていくと

log(L1/(L1＋Ｌ2)) ≒ -0.254

つまり0.557の対数は-0.254です。

5/2・-0.254 ≒-0.635

ですから，明るい星と2つの和の等級差は-0.635等級ということです。そこで元のm1は0.71等なので

ｍ＝0.71 + (-0.635) = 0.0752

となり，2つの和の等級mは0.075ということになります。0等星に近い明るさということで，一応Wikipediaでカペラ (恒星)を見てみると視等級0.08ですからこんなものでしょう。

この回答へのお礼

ほんとに助かりました。ありがとうございます。

お礼日時：2021/01/18 10:52

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/17 17:43

１等級の星の明るさを基準にすれば、１等級の明るさ（フラックス）を F0 として

・明るい星の実視等級は0.71等級
　そのフラックス F1 は
　　0.71 - 1 = -2.5*log[10](F1/F0)
　従って
　　log[10](F1/F0) = 0.116
　→　F1/F0 = 10^0.116
　→　F1 ≒ 1.3062F0

・暗い星は0.96等級
　そのフラックス F2 は
　　0.96 - 1 = -2.5*log[10](F2/F0)
　従って
　　log[10](F2/F0) = 0.016
　→　F2/F0 = 10^0.016
　→　F2 ≒ 1.0375F0

よって、フラックスの合計は
　F = F1 + F2 ≒ 1.3062F0 + 1.0375F0 = 2.3437F0

従って、
　F/F0 = 2.3437

この二つを合わせたカペラ全体の明るさの等級を m とすると
　m - 1 = -2.5log[10](F/F0)
　　　　= -2.5 * log[10](2.3437)
　　　　≒ -2.5 * 0.37157
　　　　≒ -0.9289
よって
　m = 0.0711
つまり「0.7 等級」。

この回答へのお礼

とても分かりやすかったです。ありがとうございます。

お礼日時：2021/01/18 10:53