logについて。

Question

以下の画像で、なぜ、f｀｀(x)＞0が言えると、f｀(x)＞0が言えるのでしょうか？導関数が増えるからでしょうか？ご教授下さい。すみませんが。

mtrajcp · Accepted Answer

f(x)=(2x^2+15)log2-(4x+30)logx

f'(x)=4xlog2-4logx-4-30/x
f"(x)=4log2-4/x+30/x^2
f"'(x)=4/x^2-60/x^3

f(x)の第3次導関数
f"'(x)=4/x^2-60/x^3
に対して
x<15の時　f"'(x)<0
f"'(15)=0
x>15の時　f"'(x)>0
となっているのです

f(x)の第2次導関数
f"(x)
に対しては
f"(x)>0 なのは　x>15 だけではありません
x≦15でも f"(x)>0 なので

f"(x)は定義域全域で
f"(x)>0
なのです

平均値の定理から
{f'(x)-f'(12)}/(x-12)=f"(c)
12<c<x
となるcがある
{f'(x)-f'(12)}/(x-12)=f"(c)>0
だから
{f'(x)-f'(12)}/(x-12)>0

x>12の時
x-12>0
だから
{f'(x)-f'(12)}/(x-12)>0
↓両辺にx-12>0をかけると
f'(x)-f'(12)>0
↓両辺にf'(12)を加えると
f'(x)>f'(12)

f'(x)=4xlog2-4logx-4-30/x
にx=12を代入すると

f'(12)
=4*12*log2-4log12-4-30/12
=48log2-4log(2^2*3)-4-6*5/(6*2)
=48log2-4(2log2+log3)-4-5/2
=48log2-8log2-4log3-4-2-1/2
=40log2-4log3-6-1/2
=(19+8+12+1)log2-4log3-6-1/2
=19log2+8log2+12log2+log2-4log3-6-1/2
=19log2+8log2-4log3+12log2-6+log2-1/2
=19log2+4(2log2-log3)+6(2log2-1)+log2-(1/2)loge
=19log2+4(log4-log3)+6(log4-loge)+log2-loge^(1/2)
=19log2+4log(4/3)+6log(4/e)+log2-log√e
=19log2+4log(4/3)+6log(4/e)+log(2/√e)

↓2>1,4>3,4>3>e,2^2>3>eだから
↓2>1,4>3,4>3>e,2>√eだから
↓2>1,4/3>1,4/e>1,2/√e>1だから
↓log2>0,log(4/3)>0,log(4/e)>0,log(2/√e)>0だから

>0

f'(x)>f'(12)>0
だから
x≧12の時f'(x)>0
だから
x≧12の時
xが増加の時f(x)は増加
だから
x≧12の時
f(x)

↓f(x)=(2x^2+15)log2-(4x+30)logxにx=12を代入すると

≧f(12)
=(2*12*12+15)log2-(4*12+30)log12
=3{(2*4*12+5)log2-(4*4+10)log(4*3)}
=3{(8*12+5)log2-(16+10)(log4+log3)}
=3{(96+5)log2-26(2log2+log3)}
=3(101log2-52log2-26log3)
=3{(101-52)log2-26log3}
=3(49log2-26log3)
=3{(3+42+4)log2-(24+2)log3}
=3(3log2+42log2+4log2-24log3-2log3)
=3(3log2+42log2-24log3+4log2-2log3)
=3{3log2+6(7log2-4log3)+2(2log2-log3)}
=3{3log2+6(log2^7-log3^4)+2(log2^2-log3)}
=3{3log2+6log(2^7/3^4)+2log(2^2/3)}
=3{3log2+6log(128/81)+2log(4/3)}

↓2>1,128>81,4>3だから
↓2>1,128/81>1,4/3>1だから
↓log2>0,log(128/81)>0,log(4/3)>0だから

>0
だから
x≧12の時f(x)>0
だから
x≧12の時(2x^2+15)log2-(4x+30)logx>0
だから
∴
x≧12の時
(2x^2+15)log2>(4x+30)logx

ありものがたり · Answer

要するに増減表を見ろ」としか言えない。写真の解説は、別に f’’(x) > 0 だから f’(x) > 0 だとは言ってない。 f’’(x) > 0 なのは x > 15 での話で、結論は x > 12 で f’(x) > 0 ということだ。その理由は、増減表より x > 12 で f’(x) ≧ f’(15) = 4log2 - 2/15 > 0 だということ。これには、12 < x < 15 で f’(x) < 0, x > 15 でｆ’(x) > 0 であること、よって f’(15) が極小値であり x > 12 での最小値であることが関与しており、 f’’(x) > 0 だから f’(x) > 0 という話ではない。

mtrajcp · Answer

f"(x)>0 
だから
f"(x)の定義から

f"(x)=lim_{h→0}{f'(x+h)-f'(x)}/h>0
だから
f"(12)=lim_{h→0}{f'(12+h)-f'(12)}/h>0
だから
{f'(12+h)-f'(12)}/h>0

x>12の時
h=x-12
とすると
h>0
x=12+h
だから
{f'(x)-f'(12)}/h>0
↓両辺にh>0をかけると
f'(x)-f'(12)>0
↓両辺にf'(12)を加えると
f'(x)>f'(12)

f'(x)=4xlog2-4logx-4-30/x
にx=12を代入すると

f'(12)
=4*12*log2-4log12-4-30/12
=48log2-4log(2^2*3)-4-6*5/(6*2)
=48log2-4(2log2+log3)-4-5/2
=48log2-8log2-4log3-4-2-1/2
=40log2-4log3-6-1/2
=(19+8+12+1)log2-4log3-6-1/2
=19log2+8log2+12log2+log2-4log3-6-1/2
=19log2+8log2-4log3+12log2-6+log2-1/2
=19log2+4(2log2-log3)+6(2log2-1)+log2-(1/2)loge
=19log2+4(log4-log3)+6(log4-loge)+log2-loge^(1/2)
=19log2+4log(4/3)+6log(4/e)+log2-log√e
=19log2+4log(4/3)+6log(4/e)+log(2/√e)

↓2>1,4>3,4>3>e,2^2>3>eだから
↓2>1,4>3,4>3>e,2>√eだから
↓2>1,4/3>1,4/e>1,2/√e>1だから
↓log2>0,log(4/3)>0,log(4/e)>0,log(2/√e)>0だから

>0

f'(x)>f'(12)>0
だから
x≧12の時f'(x)>0
だから
x≧12の時
xが増加の時f(x)は増加
だから
x≧12の時
f(x)

↓f(x)=(2x^2+15)log2-(4x+30)logxにx=12を代入すると

≧f(12)
=(2*12*12+15)log2-(4*12+30)log12
=3{(2*4*12+5)log2-(4*4+10)log(4*3)}
=3{(8*12+5)log2-(16+10)(log4+log3)}
=3{(96+5)log2-26(2log2+log3)}
=3(101log2-52log2-26log3)
=3{(101-52)log2-26log3}
=3(49log2-26log3)
=3{(3+42+4)log2-(24+2)log3}
=3(3log2+42log2+4log2-24log3-2log3)
=3(3log2+42log2-24log3+4log2-2log3)
=3{3log2+6(7log2-4log3)+2(2log2-log3)}
=3{3log2+6(log2^7-log3^4)+2(log2^2-log3)}
=3{3log2+6log(2^7/3^4)+2log(2^2/3)}
=3{3log2+6log(128/81)+2log(4/3)}

↓2>1,128>81,4>3だから
↓2>1,128/81>1,4/3>1だから
↓log2>0,log(128/81)>0,log(4/3)>0だから

>0
だから
x≧12の時f(x)>0
だから
x≧12の時(2x^2+15)log2-(4x+30)logx>0
だから
∴
x≧12の時
(2x^2+15)log2>(4x+30)logx

masterkoto · Answer

細かい字を読むのは苦手なんで
もう少し大きい文字で鮮明な画像にしていただきたいところですが
それはさておき
質問の趣旨はx>12で
f'(x)>0がなぜ言えるかということでしょうか？
ならば
f'
f''
のままで理解してほしいところですが
分からない場合は
f'(x)=F(x)
f''(x)=F'(x)と置き換えて見てください
そうしたら
ｘ　　｜１２・・・１５・・・
F’（X)｜
F(X)　｜
という一階の導関数（’が1つだけの導関数）しか登場しない
見慣れた形式になり　分かりやすくなるはずです

次に、うえの表のF'(x)の欄と　F(x)の欄を埋めてみてください
（つまり　あなたの描いた表の中断と下段を入れ替えて
f''(x)が中段、f'(x)が下段という状態の表を書くのです
貴方のは中断がf'下段がf''になっていますがここがが逆です）

すると　x=12～15未満では　F'(x)はマイナス
x=15でF'(x)=0
x=15を超える範囲では　F'(x)はプラス
ですので

ｘ　　｜１２・・・１５・・・
F’（X)｜　　　－　　０　＋
F(X)　｜
となりますよね

で　下段も埋めれば

ｘ　　｜１２・・・１５・・・
F’（X)｜　　　－　　０　＋
F(X)　｜　　　↘ 極小値　↗
というのは　高校数学２　ないし　数３までの知識でかけるはずです
で　極小値=4log2-2/15　です
ちなみに　4log2=log2⁴=log16ですが　e≒2.7は常識ですので
log16=kとおけば
log16=k⇔e^k=16 について
目安としてe=2ならば　2^k=16  k=4
e=3ならば　3^k=16 kは２以上3未満
e=2.7なら　ｋはこれらの数値の間になるはずなんで
4log2=２から４程度
ゆえに 極小値=4log2-2/15>0です

で、増減表から縦軸がF(x)で横軸がxのグラフを書くのも良いです
すると表から
　x=12の位置からx=15の位置に向かうにしたがって下降傾向で
x=15を底（極小）
として以後は増加傾向に転ずるグラフが書けますよね
そして、グラフの最も低い位置：極小がプラスでx軸よりは上に位置しているというグラフになるはずです
つまり、この区間でのF(x)の最小値は4log2-2/15(>0)です
このことから
F(x)＞０
元に戻して　f'(x)>0が言えたということです

補足説明が必要ならしますが
今日はもう時間が取れないんで明日以降になります

mtrajcp · Answer

f"(x)>0 
だから
f"(x)の定義から

f"(x)=lim_{h→0}{f'(x+h)-f'(x)}/h>0
だから
f"(12)=lim_{h→0}{f'(12+h)-f'(12)}/h>0
だから
{f'(12+h)-f'(12)}/h>0

x>12の時
h=x-12
とすると
h>0
x=12+h
だから
{f'(x)-f'(12)}/h>0
↓両辺にh>0をかけると
f'(x)-f'(12)>0
↓両辺にf'(12)を加えると
f'(x)>f'(12)

f'(12)
=4*12*log2-4log12-4-30/12
=40log2-4log3-6-1/2
=19log2+4log(4/3)+6log(4/e)+log(2/√e)>0

f'(x)>f'(12)>0
だから
x≧12の時f'(x)>0
だから
x≧12の時
xが増加の時f(x)は増加
だから
x≧12の時
f(x)
≧f(12)
=(2*12*12+15)log2-(4*12+30)log12
=3{3log2+6log(2^7/3^4)+log(2^4/3^2)}
=3{3log2+6log(128/81)+log(16/9)}
>0
だから
x≧12の時f(x)>0
だから
x≧12の時(2x^2+15)log2-(4x+30)logx>0
だから
∴
x≧12の時
(2x^2+15)log2>(4x+30)logx

mtrajcp · Answer

f"(x)>0 
だから
xが増加の時f'(x)は増加
だから
x≧12の時f'(x)≧f'(12)=4*12*log2-4log12-4-30/12≒20.83144>0
だから
x≧12の時f'(x)>0
だから
x≧12の時
xが増加の時f(x)は増加
だから
x≧12の時f(x)≧f(12)=(2*12^2+15)log2-(4*12+30)log12≒16.2>0
だから
x≧12の時f(x)>0
だから
x≧12の時(2x^2+15)log2-(4x+30)logx>0
だから
∴
x≧12の時
(2x^2+15)log2>(4x+30)logx