2つの放物線 f(x)=x²、g(x)=ｰx²+6xｰ5 の共通接線の方程式を求めよ。 という問題に

2つの放物線 f(x)=x²、g(x)=ｰx²+6xｰ5 の共通接線の方程式を求めよ。 という問題について質問です。

まず私のトンチな考え⬇️(バリバリ間違えています。)
f'(x)=2x、g'(x)=ｰ2x+6
共通の接線を持つ=接線の傾きが同じなので、
f'(x)=g'(x)より、
2x=ｰ2x+6
4x=6
x=6

で、f'(x)かg'(x)に代入したら接線の傾きが出るのかな？
と思ったのですが一致しなくて、解答解説を見たら初めの式から全然違いました。汗
そして解答解説を見たら、あーなるほどね。と、解き方は分かり解けるようになったのですが、

私が考えたf'(x)=g'(x)は間違っている理由を教えてください。それぞれf(x)、g(x)の接線の傾きなので、イコール関係になると思ったのですが･･･

バカみたいな勘違いをしていてトンチな内容なのは充分承知しているのですが、それでも何がいけないのかが分からないので、、教えて下さると嬉しいです、、


(ちなみに解答解説はf'(x)における接点を(a、a²)、g'(x)における接点を(b、ｰb²+6bｰ5)として連立していくような解き方でした。(理解できました。)写真があった方が良ければ載せます。)

質問者からの補足コメント

• 文章しっかりと見直さずにあげてしまったので てにをは や文脈が途中おかしなことになってますねすみません、、

    補足日時：2021/01/30 22:39

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/31 11:36

そしてもう1つトンチであろう質問をしてよろしいでしょうか？？(><)

皆様の言う通りf'(a)やg'(a)は
f(x)の ｢x=a｣においての接線である為
f'(a)=g'(a)ではないとのことですが、
絶対にf'(a)=g'(a)はありえないのですか？
可能性はないですか？
(何故ですか？)

>>>この問題に限定しないならf'(a)=g'(a)になる可能性はありますよ。
例えば f(x)=2x²、g(x)=2x²+3の場合　両者はy軸方向にスライドさせた位置関係なんで　f'(a)=g'(a)です
(実際に確認：f'(x)=4x
g'(x)=4(x)
∴f'(a)=g'(a)=4a)
ただし、傾きが一致(f'(a)=g'(a))でも　切片が一致するとは限らないので
接線が一致するとは限りません
すなわち　傾き＝f'(a)=g'(a)=mとすると
y=f(x)のx=aでの接線は　y=mx+b…①
y=g'(x)の　x=aでの接線は　y=mx+b'…②
というようになって、①および②のｙ軸との交点が食い違う可能性があるので、2接線は平行ではあるが一致していない
ということが高い頻度で起きます
実際に確認　：f(x)=2x²、g(x)=2x²+3の場合
f'(x)=g'(x)=4x
a=2とすれば
f'(a)=g'(a)=4a=8＝接線の傾き
これは　各グラフのx=2での接線を調べようとしている意味だから　
y=2x²(y=f(x)）上のx=2である点を調べる→y=2(2)²=8
その座標は(2,8)
で、ご存じの通り、傾きmで(s,t)を通る直線の方程式は
y-t=m(x-s)・・・公式　だから
y=f(x)上の(2,8)における接線は
y-8=8(x-2)
⇔y=8x-8
同様にy=g(x)のグラフでのx=2である点の座標は
y=2(2)²+3=11→(2,11)
この点における接線は
y-11=8(x-2)
⇔y=8x+5
結果、傾きは８で一致だが　切片が食い違っていて不一致
このようなケースが多いのです

そして本題でも,問題文を一目見た時点で、このようなことが起きる可能性を考慮しないといけないのです
なおかつ、本題ではもっと考えれば、別の理由でもf'(a)=g'(a)を考えてもＮＧであることがわかります
f'(a)＝g'(a)を考えるということは
先ほど示したようにx=a=2の例のように
y=f(x)上のx座標がaである点(a,a²)（←←←そのような点のy座標は
y=f(a)=a²なんでその座標は(a,a²)　）
と
y=g(x)上のｘ座標がaである点(a,ｰa²+6aｰ5)
これら2点で、それぞれの放物線に接する接線を考えようと意味になります
そして、共通接線がこの2点でy=f(x)およびy=g(x)に接しているということは
この2点を通るということです

この2点のｘ座標はそろっているので　この2点を通る直線（共通接線）はｙ軸に平行です

しかし、y=f(x)またはy=g(x)
どちらか一方のグラフを書いてみればわかりますが
グラフのどの部分に接線を書いてみてもｙ軸に完全に平行なものは書けませんよね

計算式でも
傾き＝ｙの増加量/ｘの増加量ですが
　(a,a²)と(a,ｰa²+6aｰ5)を通るy軸に平行な直線の傾きは
傾き= {a²-(ｰa²+6aｰ5)}/(a-a)となり
分母が０となっています
分母０は定義されないんで
ｘ座標がともにaでそろっているような2点を通る直線の傾きは　存在しない
ということができるのです（もしくは、そのような直線の傾きは無限大ともみなせます）
ところが　f'(x)=2xにどんな実数を代入しても2x=実数　となり
y=f(x)には
f'(x)＝傾き
が存在します
（y=g(x)の傾きについても同様）
傾きが存在ということは　y=f(x)(⇔y=x²)は決してy軸平行な接線を持たないということです
従って、y=f(x)上の点(a,a²)でy=f(x)に接する共通接線を考えるなら
共通接線がy軸平行にならないように
y=g(x)（⇔y=ｰx²+6xｰ5)との接点のｘ座標はaとは別のものにしてあげないといけない
というのは前回の再説明になります

No.5 回答者： tekcycle 回答日時： 2021/01/30 23:11

> で、f'(x)かg'(x)に代入したら接線の傾きが出るのかな？

で、それぞれ代入したらどうなりました？

グラフを描いてない、どうなったか確かめてない、それがなぜかグラフから検討してない。
基礎的なことを怠ると、解けない、なぜ間違えたか判らない、となります。

> 4x=6
> x=6

なわけないよね。そもそも。
とんちのところはありっちゃぁありですよ。
定番の解き方に対して、自分でアイディアを出していくというのは良いことです。
やり方が正しいなら、答は同じになるはず。
答が違っているなら、どこで間違えたのか、ですし、合っていたなら、じゃぁ定番とどっちが速いのか、あるいは、何とかが0のときがぬけているなどのことがないか、などです。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/30 23:07

4x=6

x=6
まずこれが誤り（x=6/4)

さらに、このxがy=f(x)とy=g(x)の文字xに共通ということも誤りの原理です
つまり　y=f(x)上の点のx座標をtとすればy座標はt²
なんで　y=f(x)上の点は(t,t²)
この(t,t²)における接線の傾きはf'(t)=2t

同様に,y=ｇ(x)上の点のx座標をtとすればy座標はｰt²+6tｰ5
なんでそのような点は(t,-t²+6t-5)
この(t,t²+6t-5)における接線の傾きはg'(t)=-2t+6

なんだが、両者ともx座標=tという点における接線というのが落とし穴！
つまり　点(t,t²)と点(t,-t²+6t-5)を結ぶとy軸に平行な線分になる
でも、通常このような位置関係にある2点を接線が通ることにはなりませんよね
（まったくないというわけではありませんが　この2点を通る接線はx=tという垂直ライン（y軸に平行なライン）になるので　この問題の接線としては不適です
というのもy=x²の接線は接点がどの位置になってもｙ軸に平行にはならないため）

ということは　y=f(x)の接点のx座標とy=g(x)の接点のｘ座標は異なるもの
でなければならないということです（接点のｘ座標が異なれば、接線はy軸平行にならない）
ゆえに　y=g(x)の(t,t²+6t-5)における接線の傾きはg'(t)=-2t+6
を考えてはだめで
y=f(x)の接点のｘ座標=tとは別の座標に変えて
y=g(x)の接点のｘ座標はsなどとしないといけないのです
このとき　、y=ｇ(x)上の点(s,-s²+6s-5)における接線の傾きは
g'(s)=-2s+6
これらが等しいので
2t=-2s+6
けれども、この条件だけではs,tが求まらず情報不足

この回答へのお礼

masterkotoさんいつもありがとうございます(T_T)
xの値 そんな簡単な所間違えてたのに気づきませんでした…出直してきます…

そうですよね、x座標の文字変えなければダメでした、、

そしてもう1つトンチであろう質問をしてよろしいでしょうか？？(><)
皆様の言う通りf'(a)やg'(a)は
f(x)の ｢x=a｣においての接線である為
f'(a)=g'(a)ではないとのことですが、
絶対にf'(a)=g'(a)はありえないのですか？
可能性はないですか？
(何故ですか？)

今まだ頭に完璧に整理された訳ではなくまだ整理できてないところがあるので、masterkotoさんが細かく説明してくださったところまで今から改めて考え直してみて、そしたら自分でも分かるかもしれませんが、分からないかもしれないので先に補足で質問させていただきました、申し訳ございません、、

お礼日時：2021/01/31 00:56

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/30 23:05

> 共通の接線を持つ=接線の傾きが同じなので、

　間違ってる。
　「共通の接線なら、接線の傾きが同じだ」というのなら正しい。だって「共通の接線」は1本の直線なんだもん、（同じもナニも）傾きは一つしかない。
　一方、「接線の傾きが同じならその接線が共通だ」は誤り。接線の傾きが同じというだけじゃダメ。平行線はみんな傾きが同じだからです。

> f'(x)=g'(x)

　これを満たすのは「fにxで接している接線の傾きと、gにxで接している接線の傾きとが同じ」になるx。これらの接線は、互いに平行な2本の直線です。問題が求めている「共通の接線」（すなわち「fにどこか(x1)で接し、かつ、gにどこか(x2)で接している直線」）とは全然別物。

この回答へのお礼

全くその通りでした………！！！
同じ点で共通接線を持つ訳では無いので別物でしたね、、分かりやすいです、ありがとうございました(T_T)！！

お礼日時：2021/01/31 00:43

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2021/01/30 23:01

2つの放物線のグラフを描けば（思い浮かべれば）、x=6（y軸に平行な直線）が接線になりえないことはイメージできると思う。

f'(x)=g'(x)は単に導関数の値が一致するときのx（直線に非ず）を求める方程式だね。

この回答へのお礼

その通りですね……！！
f'(x)=g'(x)
例えば点(a、b)において共通の接線を持つ時などに 同じ1点(a、b)で共通のf'(a)=g'(a)のように用いて使うだけで 今回は同じ点で共通の接線を持つ訳では無いのでこの式は使えないのですね、、！
ありがとうございました…！

お礼日時：2021/01/31 00:39

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/30 22:45

＞ 私が考えたf'(x)=g'(x)は間違っている理由

その式では、共通接線と y=f(x) の接点も
共通接線と y=g(x) の接点も
x座標が同じ x だが、
ふたつの接点は異なる点でよいはず。

この回答へのお礼

あああ！！！なるほど！！！！そういう事か………！！！！簡潔なのにとても分かりやすいです！ありがとうございました……！！！

お礼日時：2021/01/31 00:32