図形と方程式 x^2+y^2-4x-2√3y+3 ≦0 x-√3y-1 ≦0 を同時に満たす点(x,

図形と方程式
x^2+y^2-4x-2√3y+3 ≦0
x-√3y-1 ≦0
を同時に満たす点(x,y)の領域の面積は？


こちらを教えて頂けないでしょうか？

No.6 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/02/14 22:54

直線AOとx軸のなす角が60°

直線ABとx軸のなす角が30°
∠OAB＝60°－30°＝30°

No.5 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/02/14 22:46

直線OAがx軸となす角は60°、直線OBはx軸に平行なので、直線OAと直線OBのなす角も60°です。

∠AOB＝180°+60°＝240°

この回答へのお礼

最後にOAB=30°なのは1:2:√3だからでしょうか？

OA=2,OB=2で二等辺三角形であるということでしょうか？

お礼日時：2021/02/14 22:48

No.4 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/02/14 22:18

No.3 です。

OBはx軸に平行なので、平行線の性質を使っても解けます。

この回答へのお礼

どうして240°になるのか教えて頂けますか？

お礼日時：2021/02/14 22:28

No.3 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/02/14 21:02

x²+y²-4x-2√3y+3≦0

(x-2)²+(y-√3)²≦4
中心 (2 , √3) , 半径２の円の内部

x-√3y-1≦0
y≧(1/√3)x-1/√3
直線 y=(1/√3)x-1/√3 の上側の部分

(x-2)²+(y-√3)²=4……①
x-√3y-1=0……②
①と②の交点を求めます。
②より、
x=√3y+1……②’
②’を①に代入
(√3y+1-2)²+(y-√3)²=4
(√3y-1)²+(y-√3)²=4
3y²-2√3y+1+y²-2√3y+3=4
4y²-4√3y=0
4y(y-√3)=0
y=0 , √3
②’に代入
y=0 のとき、x=1
Y=√3 のとき、x=4
交点 (1 , 0) , (4 , √3)

円の中心をO(2 , √3)、交点をA (1 , 0) , B(4 , √3) とします。
求める面積は、(扇形OAB（大きい方）の面積) + (二等辺三角形OABの面積)
直線 y=(1/√3)x-1/√3 の傾きは (1/√3) なのでx軸となす角は30°、直線OAの傾きは√3 なのでx軸となす角は60°です。よって、∠OAB＝60°ー30°＝30°より、∠OBA＝30°、∠AOB=120°です。

これより、
(扇形OAB（大きい方）の面積)は、２² π × (240/360)=8π/3
(二等辺三角形OABの面積)は、(1/2)×2×2×sin120°=√3

したがって、求める面積は、
8π/3 + √3

この回答へのお礼

二等辺三角形に気づかないと解けない感じですか？

お礼日時：2021/02/14 21:55

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/02/14 20:25

x^2+y^2-4x-2√3y+3＝０

⇔(x-2)²+(y-√3)²=2²…①
なんで　これは　中心(2,√3) 半径２の円の方程式
x^2+y^2-4x-2√3y+3 ≦0
⇔(x-2)²+(y-√3)²≦2²はそのような円の内部の領域を表す（円周上を含む）

x-√3y-1 ≦0
⇔-√3y≦-x+1
⇔y≧(1/√3)x-(1/√3)
これが表す領域は　直線y=(1/√3)x-(1/√3)…②より上側（直線上も含む）

これらを図示

２つの領域の共通部分の面積を求めればそれが答え
ただし、円と直線が交点を持たないのか
2点で交わるのか
1点を共有していて直線が円の接線になっているのかは調べておきたいところ
そのためには
①と②を連立方程式にする
②を①へ代入してxの方程式を得られたら、この2次方程（➂）の解は交点のｘ座標を意味しているのだから
➂の判別式から解の個数（共有点の個数）を調べて
位置関係を把握する

もしくは　点と直線の距離の公式を使って
円の中心と直線の距離ｄを求めても良い
d<半径なら　円と直線は２交点を持つ
d=半径なら　接線
d>半径なら　直線と円は交わらない

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/02/14 20:18

円　x²+y²-4x-2√3y+3=0 と　直線　x-√3y-1=0 の交点は

(1+√3y)²+y²-4((1+√3y)-2√3y+3=0 → 4y²-4√3y=0
→ y=0 , √3
→ x=1+√3y → x=1 , 4
となる。

円の式は　(x-2)²+(y-√3)²=4 → y=√3±√{4-(x-2)²}
だから、円のxの最大値も４となり、直線の交点と一致する。

また、円と x軸との交点は y=0 として
(x-2)²+(0-√3)²=4 → x=1, 3
となる。x=1 の交点は円直線、x軸が一致する。

したがって、指定の面積 S のうち x≧0 の部分は

A=∫[1,4] (x-1)/√3 dx - ∫[3,4] {√3-√{4-(x-2)²} dx

指定の面積のうち x≦0 の部分は
B=∫[1,3] [0 - {√3-√{4-(x-2)²} ] dx
となり、指定の面積は

S=A+B=∫[1,4] (x-1)/√3 dx - ∫[1,4] {√3-√{4-(x-2)²} dx
　=(1/√3)[x²/2-x] [x=4,1] - √3[x] [x=4,1]
+ (1/2)[(x-2)√{4-(x-2)²}+4sin⁻¹{(x-2)/2} ] [x=4,1]
=(1/√3){8-4-(1/2-1)} - √3{4-1)
+ (1/2)[0+4sin⁻¹(1)-{-√3+4sin⁻¹(-1/2)} ]
=(1/√3)9/2 - 3√3 + (1/2)[4π/2+√3+4π/6 ]
=-3(√3)/2+(√3)/2+8π/3
=-√3+8π/3