運動方程式の立て方がわかりません。 写真のような一自由度系の運動方程式を導出せよ。 という問題の解き

運動方程式の立て方がわかりません。

写真のような一自由度系の運動方程式を導出せよ。
という問題の解き方がわかりません。

特に、変位がxとθの二つがあり、どうすればいいのかが分かりません。
単純に、mx"= -kx で良いのでしょうか？

よろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/02/18 23:34

これだけでは全く条件不足だけど

①円板と庄面は滑らない。
②バネからのびるロープは円板にしっかり巻き付いている
を仮定。

「2つの円板」とか書いてある意味が不明なので無視。
多分間違う気がするけど、
この方針で運動方程式を立てると

重心の移動量=x=Rθ ①
バネの引っ張られる量=重心の移動量+ロープの巻き取り量=Rθ+Rθ=2Rθ
バネが引っ張る力=T=k(2Rθ)
C点で円板に加わる静止摩擦力=F(右を正)

とすると
重心に関する運動方程式は

mx''=-T+F=-2kRθ+F ②

回転に関する運動方程式は
Jpθ''=-2kRθ・R-RF=-2kR^2θ-RF ③

①、②、③が運動方程式です。

②と③からFを、①でxを消すのは容易なので
解くのは容易です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

一つ質問があるのですが、
重心に関する運動方程式は、
mx"=-T-F ではないでしょうか？
自分の考えでは、円板に対するバネの復元力と静止摩擦力はどちらとも左向きにかかると思ったのですが、違うでしょうか？

お礼日時：2021/02/19 07:03

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/02/19 07:28

>重心に関する運動方程式は、

>mx"=-T-F ではないでしょうか？

Fは右向きを正と「定義」しました。
なので、
mx''=-T+F
でなければなりません。

振動解になるでしょうから、Fは正にも負にも
なるでしょう。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/02/18 22:48

x を重心（円盤の中心）の変位、θを円板中心の回転角として、ばねのつり合い位置を x=0, θ=0 とすると、

　x/R = tanθ　　　　①
ですよね？

変位が微小であれば
　x/R ≒ θ
と近似もできます。

もちろん、この条件で「速度、角速度」「加速度、角加速度」も対応します。

図の「Jp」はおそらく円板の慣性モーメントなので、運動方程式は
・重心の並進運動（x の関数）
・重心周りの回転運動（θ の関数）
の２つの運動方程式を連立させ、①の束縛条件下で解くのでしょうね。