数学についての質問です。 関数の定義を教えてください。“xの値が定まるとyの値も一つに定まる” この

数学についての質問です。
関数の定義を教えてください。“xの値が定まるとyの値も一つに定まる” この状態を関数というんですか？それとも、そのときのyについての式を関数というんですか？
お願いします。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/02/20 19:10

>>“xの値が定まるとyの値も一つに定まる” この状態を関数というんですか？

その通り。式に出来なくても良いけど、「数学」なら式で無いとイケナイです。

xの2倍ならy=2x
関数の英語がfunctionだから、xについての関数と言う場合はf(x)と書く。
y=f(x)=2x

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/02/20 19:18

「x の値に対して y の値が 1つに定まる」ときに

y は x の関数
と呼ぶ.

「関数かどうか」というだけなら, 「式として書けるかどうか」は無関係.

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/02/20 20:50

式は関係ないです。

あくまで、xとyの対応関係が関数で
xがひとつの直に定まると、yもひとつの値に定まるなら
yはxの関数。
この時、xはyの関数とは限らないです。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/20 21:20

集合 X の元 x と集合 Y の元 y の対 (x,y) がなす集合で、

どの x についても、 (x,y) がこの集合に属するような y は各ひとつに限る
ようなものを、「X から Y への関数」と言います。
式は、何の関係もないですね。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/02/20 23:16

余談あるいは蛇足.

何を「関数」と呼ぶかは状況にもよって, 例えば
x の値によっては対応する y の値が存在しない
ときにも「関数」と呼んだり (そのような「関数」を「部分関数: partial function」と呼び, それに対して「全ての x の値に対して y の値が存在する」ときには「全域関数: total function」という), あるいは
x の値によっては複数の y の値が対応する
というもの (「多価関数: multivalued function」という) も「関数」として認めることがある.

No.6 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/02/21 20:59

特に断りなく「関数(function)」（どんな観点でどんな話をしているかによっては、「関数」の代わりに「写像(mapping)」とか「一意対応(univalent correspondence)」と呼ぶこともありますが、同じ意味）と言うトキには、

　集合XとYが決まっていて、XとYの直積集合
　　X×Y = {(x,y) | x∈X かつ y∈Y}
（すなわち、Xの要素xとYの要素yを順序対（ordered pair）にしたもの(x,y)の全体）について、その部分集合
　　f ⊂ X×Y
が、
　★ 任意のxについて「x∈Xならば、(x,y)∈f を満たすyがただ一つ存在する」
という性質を持つとき、「fは(XからYへの)関数である」と言うんです。記号では、X,Yを明示的に指定して
　　f : X→Y
と表します。（というのも、もしX, Yが明確でないと、fが一体何の部分集合なのかが曖昧で、するとfを関数だと考えていいのかどうかすらもはっきりしなくなっちゃうからです。）Xはfの「定義域(domain)」と呼ばれ、Yはfの「値域(range)」と呼ばれます。

　ところで、x∈X について、(x,y)∈f を満たすただ一つのyのことを f(x)と書く。（ですから、しばしば「関数f(x)」と書いたりするのは、厳密に見れば変な表現であり、正確にはfそれ自体こそが関数。）

　直積集合X×Yってのは、「グラフを描くときの横軸上にXの要素を、縦軸上にYの要素を並べたときの、平面全体のこと」だとイメージすると分かりやすいでしょう。この平面に関数のグラフの曲線を描くと、「点(x,y)を曲線が通る」ということが「(x,y)∈fである」ということを表している訳です。

　例えば、X,Yがどちらも実数全体の集合Rであるとき、2変数の方程式
　　y = x^2 + 1
の解(x,y)の集合
　　f = {(x,y) | x∈R かつ y = x^2 + 1}
はR×Rの部分集合で、しかも★を満たすから、このfはRからRへの関数。このことをしばしば
　　f(x) = x^2 + 1 （ただしx∈R）
とだけ書くのは、これだけで集合としてのfがどうなってるかも決まるからです。
　一方、見慣れた式で表現できる関数ばかりが関数ではありません。例えば
　　g = {(x,y) | x∈R かつ (xが有理数ならy=0, さもなくばy=1) }
であるとか、
　　h = {(x,y) | x∈R かつ
　　　　　　　(xが解になるような、"整数係数の1変数多項式=0"という
　　　　　　　形の方程式が存在すればy=0, さもなくばy=1) }
と表されるRからRへの関数もアリですし、あるいはxとyの関係にさっぱり規則性がなくて、要素を全部書き並べる以外に表しようがないようなもの：
　　j={(1,44),(2,81),(3,9),(4,94),(5,29)}
も★を満たすから、 {1,2,3,4,5}から自然数への関数。