この（2）ですがどのように場合分けすればいいでしょうか 極値を取るxの値と端の値で場合分けしようと思

この（2）ですがどのように場合分けすればいいでしょうか
極値を取るxの値と端の値で場合分けしようと思いましたが、違うらしいんですが…

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/03/08 23:38

まあ、入試問題を１から解くのも面倒なんで

指針を挙げておきます

y=|f(x)|のグラフの書き方は
y=f(x)のグラフを書いてｘ軸より下になる部分をx軸で折り返せばよいですよね
ゆえに、Mは絶対値付きではないグラフ、y=f(x)(-1≦x≦１）上の点で
x軸から上下に一番離れた座標が該当するという事に気が付くべきです

このことから、x軸から上下に一番離れた座標をうまく扱える
場合分けが必要だな　ということが見えるような気がします

f'(x)=3x²-3a
f''(x)=6x
x=0では　f''(x)=0
x=0の前後で　f''(x)の符号がかわるから
3次関数y=f(x)はx=0(0,b)で変曲点です（変曲点の判断についてはテキスト参照）
3次関数は変曲点に関して対称（・・・このことは基本知識ですが証明方法は参考書など参照）だから
y=f(x)は点(0,b)に関して点対象

この基本的事項の把握をしておいて
・b=0なら
y=|f(x)|はy軸に関して線対称
これをふまえて、y=f(x)が極値を持つケースと極値を持たないケースでわけ
y=f(x)上にある点でｘ軸から一番離れた座標を考えてみる
→y=f(x)=x³-3axの-1≦x≦1での最大値とMが一致と分かるはず
→極値が-1≦x≦１の範囲内にない場合はMを取るのはx=-1またはx=1で
極値が範囲内にある時は　f(x)の極大値=Mであることが分かるはず

・b＞０なら
y=f(x)は
ｂ＝０の場合のグラフ
y=x³-3axをy方向にbだけ平行移動したものであることに留意して考えてみる
やはりf(x)が極値を持つケースと持たないケースでわけてみる
極値を持つケースでは、　
3次関数y=x³-3axの概形は極大→極小の順に並ぶ(極大と極小の中間点が変曲点(0,0)⇔(0,0にかんしてこの3次関数は点対象）
これを+bだけ上にスライドすれば、第一象限のグラフ上にはx軸から一番離れた座標はないことが分かるから
y=f(x)の第2象限、第三象限で考えればよいことが分かるはず
極値がないなら、y=x³-3axは単調増加関数なんで
これを+bだけスライドしたy=f(x)はx=1である点(1,f(1))がｘ軸から一番離れていることが分かるはず

以上を参考に、
極値の有無
b=0なのか　b>0なのか
極値がある場合は　極値がx軸から一番離れた位置になるのか否か
その辺を考えてまずは細かく場合分けを考えてみてはいかがでしょうか・・・
で、細かく行った場合分けを統一できる部分は統一していくという手順を踏んでみては

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2021/03/09 08:38