中学2年数学 連立方程式の解き方

11x-13y=61
17x-19y=91

この方程式をときたいのですが
下の式から上の式を引いて　6x-6y=30　という式を出して
この式と、上下どちらかの式と連立させれば
普通に上を17かけて下を11かけるより簡単に解けそうです・

でも、下の式から上の式を引いたものを使っていい　このことは数学的に証明できるものですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/24 22:54

ax+by=e

cx+dy=f

(a-c)x'+(b-d)y'=e-f
cx'+dy'=f
→
ax'+by'=e
cx'+dy'=f

これらから
a(x-x')+b(y-y')=0
c(x-x')+d(y-y')=0

D≠0 なので、この解は
x-x'=y-y'=0

この回答へのお礼

ラストは行列そのものですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2021/04/29 16:56

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2021/04/25 14:27

どちらも同じことを しているのでは ないでしょうか。

「上の式に17を掛け、下の式に11を掛けて、差を求める」
「上下 両方に 1を掛けて、差をもとめる」
どちらも 同じ操作ですよね。
11x-13y=61 と 22x-26y=122 と 187x-221y=1037 ,
全部 同じ式ですから。

この回答へのお礼

は、同じ操作です。

それを数学的に説明できるのか？と思いました。

お礼日時：2021/04/29 16:50

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/25 00:12

11x - 13y = 61 …① と

17x - 19y = 91 …② から
6x - 6y = 30 …③ が導けたのだから
(①かつ②)と(①かつ②かつ③)は同値だが、

①と③の辺々を足し算すると②が導けるから
(①かつ③)と(①かつ②かつ③)も同値である。

よって、(①かつ②)と(①かつ③)は同値である。

この回答へのお礼

同値の概念では難しいかと思います。
逆の手順が元に戻るかはその演算の性質によるからです。

お礼日時：2021/04/29 16:54

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/24 22:25

できます。

ax+by=e
cx+dy=f
はクラーメルの公式から
D=ad-bc≠0 であれば解ける、解を持つことが証明されています。

したがって、
(a-c)x+(b-d)y=e-f
cx+dy=f
も同様に
D'=(a-c)d-(b-d)c=ad-bc=D≠0
なので解を持つ。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
解を持つことはわかりました。

解が変わらないことはどのように証明できるのでしょうか？

お礼日時：2021/04/24 22:30