相対速度と相対加速度(と束縛条件)に関する質問です。

この動画の28:22あたりの話なんですが(いきなり動画を持ってきてすみません)、
三角台とその(直線の)斜面に乗っている小球の2体問題で、両者が静止した状態から小球を転がす問題で、（三角台から見た小球の？）相対速度が斜面に平行になり、相対加速度も斜面に平行となるようなのです。

しかし、三角台の斜面が曲面の場合は相対速度は斜面に平行であるが、相対加速度は斜面に平行にならないということなんですが、このことが理解できません。
この動画の28:35~ 部分で講師の方が言っている、勘がいいようで悪い子の疑問と全く同じ疑問を持っております。この講師の方は、あとで解説する旨を動画内で示していたんですが結局その後、解説されなかったので、お分かりになる方がいらっしゃいましたら教えていただきたいです。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2021/04/26 17:31

確かに話は台に対する速度加速度ですね。

一般の場合(斜面が曲面の場合)
斜面の上り口からの水平距離x1のところの高さをｆ(x1)とすれば
x1＝x－X　なので束縛条件は
ｙ＝ｆ(x－X)になります。
これを両辺時間微分すると合成関数の微分法より
ｙ´＝ｆ´(x－X)(x´－X´)＝ｆ´(x1)(x´－X´)　で
ｆ´(x1)は斜面の傾きtanθなので
ｙ´＝tanθ(x´－X´)　‥‥①　になる、
つまり相対速度ベクトルは斜面の方向と同じというわけです。

ところが一般の場合tanθは斜面の場所によって変わるので
時間によっても変わる、したがって①をも一回時間微分すると
ｙ´´＝tanθ(x´´－X´´)＋(tanθの時間微分)(x－X)
となってｙ´´＝tanθ(x´´－X´´)とはならない、
だから相対加速度ベクトルは斜面の方向に向かないと
いってるわけです。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/25 21:07

動画が何を言っているか分かりません。

その時間では説明してい
ないし、後も見る気がしなかったので。

ただ、相対ということなら、台に固定した座標系をx,yとし、台の
座標系での球の運動は x(t),y(t) となり、これは相対運動を記述す
る。

台の形状を y=f(x)とすると球が台にある限り、
y(t)=f(x(t))
を満たす。微分すると
　y'=f'(x)x'=tanθ x'
となる。ここで、f'=tanθ(θは変化) である。

もう一度微分すると
　y''=f''(x)x'²+f'(x)x''
なる。もし、台が3角形なら f'=tanθ=一定、f''=0 だから
　y''=f'(x)x''=tanθ x''

であるが、台が曲線なら、一般にf''≠0なので
　y''=f'(x)x''=tanθ x''
は成り立たない。


ということだろうか?　(専門外)

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/04/25 19:26

＞三角台の斜面が曲面の場合は相対速度は斜面に平行であるが、相対加速度は斜面に平行にならないということなんですが、このことが理解できません。

曲線運動するということは、動面と垂直方向に運動の変化があるということです。
運動の変化があるということは、加速度が働いているということです。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2021/04/25 18:52

拘束条件（束縛条件）です。

斜面の曲面が下に凸の形状をしていて、斜面と球が接触を保ったまま移動する限りは、球は斜面に沿った方向にしか進めない。ちょっとでも斜面に沿わない方向に進むと、球は斜面にめり込むか、あるいは空中に浮いてしまう。

斜面が上凸の形状をしていたら、球は斜面に沿って移動しないで、途中で空中に向けて発射される可能性があるので、相対速度が斜面に並行とは言い切れません。