テンソルが座標変換について不変であると本に記述があったのですが、肝心の不変の定義がなされていませんで

テンソルが座標変換について不変であると本に記述があったのですが、肝心の不変の定義がなされていませんでした。一般に「テンソルが座標変換について不変である」とは何が成り立つことを言っているのでしょうか。例えばリーマン軽量gと２つの座標系(x_1,…,x_a,U),(y_1,…,y_b,V)(U,Vは開集合)を与えた時に、g_ij=g(∂/∂x_i, ∂/∂x_j)とg_kl=g(∂/∂y_k, ∂/∂y_l)の間には何が成立するのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/07 19:39

計量テンソル g が座標変換で不変であるとは、

空間に x座標系と y座標系の 2個の座標系を置いたときに
２つのベクトルの内積が
p1・p2 = ∑[i,jについての和](g_i,j)(x1_i)(x2_j)　…①
　　　= ∑[k,lについての和](g_k,l)(y1_k)(y2_l)　…②
と、それぞれの座標系で同じ形の式に書ける
ことを言っています。
p1 の x座標系での成分が (x1_1, x1_2, ..., x1_n),
　　　y座標系での成分が (y1_1, y1_2, ..., y1_n)、
p2 の x座標系での成分が (x2_1, x2_2, ..., x2_n),
　　　y座標系での成分が (y2_1, y2_2, ..., y2_n) です。

成分の間には座標変換の式がありますから、
それを①か②へ代入して、x座標系か y座標系の式に統一すれば
２つの式が同じ式になっているということです。
代入して係数比較をすれば、結果的に
g_k,l = ∑[i,jについての和](g_i,j)(∂y_k/∂x_i)(∂y_l/∂x_j)
という関係になります。

g_i,j の i=2, j=3 成分と
g_k,l の k=2, l=3 成分の
値が同じという意味ではありませんから、間違えないように。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました

お礼日時：2021/05/08 01:11

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2021/05/07 19:16

確かに曖昧ですね。

僕が習ったのは「テンソルとはある物理量であるから，座標をどう定義しようとその本質・意味は不変である。したがって，その座標方向成分は常に座標変換則を満足する。」というものです。こっちが正しいと思いますけどね。その本がいい加減なんじゃないですか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございました

お礼日時：2021/05/08 01:11