∫[x:0→∞] sin^3(x)/x^3 dxの解き方を教えてください。

ディリクレ積分
　　∫[x:0→∞] sin(x)/x dx = π/2 ･････(#1)
を利用すれば
　　∫[x:0→∞] sin^2(x)/x^2 dx
は実関数の範囲で解けるのですが
　　∫[x:0→∞] sin^3(x)/x^3 dx ･････(#2)
は無理のようです。(#1)と同じ要領で（つまり複素積分で）やろうとしているのですが、うまくいきません。参考書に似たような例がないのです。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/19 07:50

まず、sinxcosx=(sin2x)/2 から

I=∫[0→∞] sin²x cosx (1/x²)dx = (1/2)∫[0→∞] (sin2x sinx)(1/x²)dx
=(1/2){ [sin2x sinx(-1/x)][∞,0]
- ∫[0→∞] (2cos2x sinx + sin2x cosx) (-1/x)dx }
=(1/2)[ 0+∫[0→∞] (1/2){(sin3x-sinx) + (sin3x+sinx)}/x dx ]
　　　(積和の公式を使った)
=(1/4)∫[0→∞] (2sin3x)/x dx = (1/2)∫[0→∞] (sin3x)/(3x) d(3x)
(u=3x と変換して #1 を使うと)
=π/4・・・・・①
となる。

つぎに
∫[0→∞] sin³x (1/x³)dx
=[sin³x (-1/2x²)][∞,0] - ∫[0→∞] 3sin²x cosx (-1/2x²)dx
( ここで、(sin³x)/x²=sinx(sinx/x)² → 0・1=0 (x→0) )

　=-0+0+(3/2)∫[0→∞] (sin²x cosx)/x² dx
　=(3/2)∫[0→∞] (sin²x cosx)/x² dx
　= (3/2)I = 3π/8　(①から)

ちなみに
∫[0→∞] (sinx)^n (cosx)^m (1/x^n) dx
はすべて、このような手順で順次求められる。

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございます。深く感謝いたします。

お礼日時：2021/05/19 07:54