位相空間において、ユークリッド空間上でなくても、集合Oが開集合であることとOの内部とOが一致すること

位相空間において、ユークリッド空間上でなくても、集合Oが開集合であることとOの内部とOが一致することは同値ですか？(つまり、O^i＝O)

位相空間を講義で習っているのですが、Oが開集合の定義は、｢Oが空集合である｣または｢任意のa∈Oに対して、あるε>0が存在し、B(a,ε)⊂Oを満たす｣のどちらかであると習いました。
位相空間では、開集合であることを示すにはこの↑ような定義に従って示すことしかできませんか？
O^i＝Oを示したらいけないですか？

ユークリッド空間かつ位相空間、つまりユークリッド位相における開集合なら、もちろんO^i＝Oは成り立つと思うのですが、。

混乱してきたので、解説してくださる方いましたらお願い致しますm(_ _)m

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/21 21:31

それは、開集合よりもむしろ「内部(^i)」の定義の問題。

Oが開集合であることと、Oの内部とOが一致することは同値です。