なぜ正五面体はないの？

Question

今までいろいろ調べてきましたが、これだけが分かりませんでした。正四面体、六面体、八面体、十二面体、二十面体の五種類しか正多面体はないのは分かっています。では、なぜ正五、九、十、十一、十三～十九面体はないのですか。わかる方、どうか教えてください。お願いします。

liar_adan · Accepted Answer

お答え致します。

まず基礎的なこととして、正多面体の条件としては、

・使われている多角形が同じ。
・一つの頂点に集まる多角形の数が同じ。

という条件を満たさなければいけません。

たとえば、「上と下が正三角形、側面が正方形の三角柱」
は正多角形だけで構成されていますが、
2種類の多角形が混じるので正多面体にはなりません。
（これらには、「半正多面体（準正多面体）」という言い方があります）

また、「正二十面体の中間を抜かした十面体」
は、一つの多角形だけで作られていますが、
一つの頂点に集まる数が違うので正多面体にはなりません。

さて、正多面体を作る多角形は、
3角形・4角形・5角形に限られます。
6角形より角が大きいと、内角が120°以上になります。
一つの頂点に集まる多角形は、最低3個以上でなければ立体になりませんが、
6角形が3個集まると、360°を超えてしまいます。

つまり条件として、一つの頂点に集まる図形の内角の和が360°未満でなければいけません。

そうすると、

正3角形の場合：
頂点に集まる個数が
3個（計180°・正四面体）
4個（計240°・正八面体）
5個（計300°・正二十面体）

正4角形の場合：
頂点に集まる個数が
3個（計270°・正六面体）

正5角形の場合：
頂点に集まる個数が
3個（計324°：正十二面体）

と、このように自動的に決まってしまい、
他の可能性がないのです。

よって、正多角形は5種類しかありません。

ItachiMasamune · Answer

No.1 さん
正○面体＝正○角形の面から構成された立体　ではなく
正○面体＝○個の正△角形から構成された立体　です。

正三角形の場合、
ひとつの立体の頂点に3つ図形が集まれば、正4面体となります。
ひとつの立体の頂点に4つ図形が集まれば、正8面体となります。
ひとつの立体の頂点に5つ図形が集まれば、正20面体となります。

正方形の場合、
ひとつの立体の頂点に3つ図形が集まれば、正6面体（立方体）となります。

正5角形の場合、
ひとつの立体の頂点に3つ図形が集まれば、正12面体（立方体）となります。


なぜ上記以外のものはないのか説明します。


正三角形の1つの内角は60°ですから、1つの頂点に6つ集まった時点で360°となり、立体が作れません。
7つ以上は問題外です。実際に正三角形をつくってやってみればわかります。
なので正三角形の場合、1つの頂点に3、4、5個図形が集まったものしかありません。（1、2個は少なすぎて立体が作れない。）

正方形の場合も、1つの内角は90°ですから、4つ集まった時点で360°となり、立体が作れません。
なので正方形の場合、1つの頂点に3個図形が集まったものしかありません。


正五角形の場合も、1つの内角は108°ですから、4つ集まった時点で432°となり、立体が作れません。
なので正五角形形の場合、1つの頂点に3個図形が集まったものしかありません。

正六角形の場合、1つの内角は120°ですから、
３つ集まった時点で360°となり立体がつくれません。
なので、正六角形は1つも立体が作れません。

正７角形以上も、同じような理由で作れません。

いままでのは正多面体の話です。
正多面体でなければ、面が5つの立体を作ることができます。



実際に正多面体を作れば、5つしかない理由がわかるのでは？

sisuiakira · Answer

数学は苦手なので自信ナシなのですが。

先ず、正○面体、というものの定義からです。
正○面体＝正○角形の面から構成された立体
ですよね？
すると、構成する正○角形が必要になります。
正○角形が作ることのできる正○面体は、
正三角形→正四面体
正四角形（正方形）→正六面体(立方体)
正五角形→正十二面体
…
というようになります。
つまり、正五面体を構成できる正○面体がないため、正五角形などの図形は存在できない、ということになるのではないでしょうか。

なぜ正五面体はないの？

お答え致します。

No.1 さん

数学は苦手なので自信ナシなのですが。

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