ｆ(x､y)=log(x²－2x＋2y²＋4)の極地候補を求め極大か極小か判定する問題が解けません。

ｆ(x､y)=log(x²－2x＋2y²＋4)の極地候補を求め極大か極小か判定する問題が解けません。わかる方いたら教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/08 19:25

まず、勾配を求める。

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
　　= （(2x-2)/｜x²-2x+2y²+4｜, 4y/｜x²-2x+2y²+4｜).
よって、∇f = (0,0) となるのは x = 1, y = 0 のときのみ。

この点での f のヘッセ行列 H は、
∂²f/∂x² = { (2)(x²-2x+2y²+4) - (2x-2)(2x-2) }/(x²-2x+2y²+4)²
　　　　= -2(x²-2x-2y²-2)/(x²-2x+2y²+4)²,
∂²f/∂x∂y = (2x-2){ - (4y)/(x²-2x+2y²+4)² }
　　　　= -8(x-1)y/(x²-2x+2y²+4)² },
∂²f/∂y² = { (4)(x²-2x+2y²+4) - (4y)(4y) }/(x²-2x+2y²+4)²
　　　　= 4(x²-2x-2y²+4)/(x²-2x+2y²+4)²
より、 H =
　　2/3　　0
　　0　　　4/3.

H が既に対角行列だから、固有値を求める手間は無くて、
固有値は両方正。よって、 f(1,0) は極小値である。