【iOS版アプリ】不具合のお知らせ

写像の話の中でグラフの定義が出てきたのですが、そこには
f を、集合 A から集合 B への関数とする。このとき、f のグラフとは、直積集合 A × B の部分集合のことである。
という内容が書かれていました。グラフの各点がA×Bの直積集合の要素のどれかであることは分かるのですが、どうして部分集合なのでしょうか?直積集合そのものではいけないのでしょうか?

A 回答 (4件)

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12217822.html のNo.6をご参照あれ。
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現実的に意味がある状況を考えるなら #2 でいわれているように


「関数」の定義を確認しよう
ってことになる.

変態的な状況では「関数のグラフと直積集合が一致する」ことはありえる. A と B がどちらも 1個しか要素を持ってないとか, もっというと
A が空集合
のときとか.
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x∈Aに対してf(x)=y∈Bがただ1つに決まるものを関数といいます



例)
A={a,x}
B={b,y}
とすると

直積は
A×B={(a,b),(a,y),(x,b),(x,y)}
となる

関数fを
f(a)=b
f(x)=y
とすると

fのグラフGは

(a,f(a))=(a,b)
(x,f(x))=(x,y)
だから

G={(a,b),(x,y)}

となります

aに対してf(a)=bとしているから(a,y)はGの要素にはなりません
xに対してf(x)=yとしているから(x,b)はGの要素にはなりません

だから

直積集合そのものには決してなりません
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部分集合そのものは直積集合自身も含む.


集合Aの部分集合から集合Bの部分集合に写るような場合もfのグラフに含めれば定義域が制限されても同様に扱える.
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