集合

写像の話の中でグラフの定義が出てきたのですが、そこには
f を、集合 A から集合 B への関数とする。このとき、f のグラフとは、直積集合 A × B の部分集合のことである。
という内容が書かれていました。グラフの各点がA×Bの直積集合の要素のどれかであることは分かるのですが、どうして部分集合なのでしょうか？直積集合そのものではいけないのでしょうか？

No.1 回答者： 電灯屋 回答日時： 2021/07/04 16:45

部分集合そのものは直積集合自身も含む.

集合Aの部分集合から集合Bの部分集合に写るような場合もfのグラフに含めれば定義域が制限されても同様に扱える.

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/07/04 17:08

x∈Aに対してf(x)=y∈Bがただ1つに決まるものを関数といいます

例)
A={a,x}
B={b,y}
とすると

直積は
A×B={(a,b),(a,y),(x,b),(x,y)}
となる

関数fを
f(a)=b
f(x)=y
とすると

fのグラフGは

(a,f(a))=(a,b)
(x,f(x))=(x,y)
だから

G={(a,b),(x,y)}

となります

aに対してf(a)=bとしているから(a,y)はGの要素にはなりません
xに対してf(x)=yとしているから(x,b)はGの要素にはなりません

だから

直積集合そのものには決してなりません

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/07/05 01:11

現実的に意味がある状況を考えるなら #2 でいわれているように

「関数」の定義を確認しよう
ってことになる.

変態的な状況では「関数のグラフと直積集合が一致する」ことはありえる. A と B がどちらも 1個しか要素を持ってないとか, もっというと
A が空集合
のときとか.

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/07/06 10:30

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12217822.html のNo.6をご参照あれ。