No.7ベストアンサー
- 回答日時:
Dが閉集合でない例ですね。
D⊆Rな例で良ければ、D=(0,1]として
f(x)=1/x x∈D
とします。
この関数fはDで連続ですが、最大値はありません。xが0に近づけばf(x)はいくらでも大きくなりますから。
DがR^2の部分集合になるような拡張は自力で考えて下さい。
難しく考える必要はないです。
No.6
- 回答日時:
解析学ならRか、場合によりR^nでしょうね。
資料を遡ればどこかで議論する対象を記載しているでしょう。どこにも書いていなければ教授のぽかミスです。それで問題の書き方からすると質問者さんはコンパクトの概念もまだ知らないかもしれませんね。何にせよコンパクトを明に示した回答は強すぎる道具を使っている気がするので、下記URLのように背理法でf(D)の有界を示して上限・下限から最大値・最小値の存在を示す流れが良いでしょう。
https://note.com/ivos10iwa/n/ne85f94713aa5
1講義前の授業資料において
「ユークリッド平面R^2上の部分集合Dで定義された写像f:D→Rを、Dを定義域とする(2変数)関数といい、f(x,y)または点P=(x,y)の関数としてf(P)と表す」
とありました。
自分の専攻外の授業かつ、カリキュラム上微積の授業より前に解析学を取らざるを得ないため、知識が浅くて申し訳ないです。
助かります。
良ければ補足の画像上の(b)も教えて頂きたいです。
No.4
- 回答日時:
#1です。
訂正しますユークリッド空間R^n
の
有界閉集合Dはコンパクト
コンパクトDからRへの連続関数fの像
f(D)もコンパクト
コンパクトf(D)はRの有界閉集合
f(D)はRの有界な部分集合だから
f(D)の上限および下限が存在する
一方f(D)はRの閉集合だから
f(D)の上限および下限はともに
f(D)に属さなければならない
したがって
max{f(D)}
および
min{f(D)}
が存在する
No.3
- 回答日時:
反例でそう。
無限次元ヒルベルト空間l2={ (x1,x2,...) | xn∈R } で
f(x=(x1,x2,...))=Σn^(-2)|xn|^2
とすると連続関数になる。
有界閉集合Dを単位円殻D={ x∈l2 | |x|=1 }ととると、
yn=(0,...,0,1,0,...) n番目の要素のみ1で他は0というl2の元
に対して、f(yn)=n^(-2)
ということから
f(D)=(0,1]
となることが分かる。(要証明)
なのでfは下限0を取る要素がないので最小値がない。
# ynとy(n+1)をD上でつなぐ曲線を考えるとf({yn})の間をつないで
# f(D)=(0,1] を示せるだろう
No.2
- 回答日時:
問題に『ユークリッド空間の』有界閉集合Dとか追加の仮定はない?
仮定がなければ
> 有界閉集合Dはコンパクト
が不成立なのでNo.1の回答は誤り。無限次元だと有界閉集合でもコンパクトでない例がある。無限次元ヒルベルト空間の単位円球とかね。
「有界閉集合Dで連続な関数は、Dで最大値及び最小値をとる」に反例が出るかどうかは知らない。
No.1
- 回答日時:
有界閉集合Dはコンパクト
コンパクトDからRへの連続関数fの像
f(D)もコンパクト
コンパクトf(D)はRの有界閉集合
f(D)はRの有界な部分集合だから
f(D)の上限および下限が存在する
一方f(D)はRの閉集合だから
f(D)の上限および下限はともに
f(D)に属さなければならない
したがって
max{f(D)}
および
min{f(D)}
が存在する
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- Excel(エクセル) 【Excel質問】別シートにある複数の同型の表から、同じ行項目にある数字を集計する 4 2023/02/16 00:14
- 数学 公約数・公倍数の性質 4 2022/10/13 08:54
- 数学 2*2の行列に対して固有値の最大実部を与えるkの値を求めたい 3 2022/11/08 16:26
- 統計学 主成分分析について 1 2022/06/14 14:53
- 数学 三角関数の極限を「はさみうちの原理」で考える時の不等号について 1 2022/07/22 01:13
- 数学 実数の収束と上限 4 2023/01/20 22:46
- 数学 集合と論理について 2 2023/01/08 05:52
- 数学 数学の複素数の証明問題です。 (1)複素数全体の集合に2要素間の実数と同様な大小を定義できないことを 2 2022/08/28 11:17
- 数学 グラフ理論の数学の問題です。このタイプの問題は初めて見たので、どうやって解けばいいかわからないです。 1 2023/05/27 19:09
- 数学 集合列と上限 4 2023/04/24 00:23
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
極大値・極小値 を英語で
-
MOS365 Excel Expert / Excel R...
-
小学5年算数。階乗の関数
-
①とても初歩的なことなのですが...
-
数値データの規格化
-
数学 2時間数に関わる問題につ...
-
なぜ、最小値がないのかが分か...
-
aを正の定数とし、f(x)=x²+2(a-...
-
sup,inf,limsup,liminfについて
-
絶対最大値と絶対最小値って何...
-
数学の問題で答えを見てもイマ...
-
停留点
-
正数a、bに対し次の関数の最大...
-
偏導関数の応用の問題です。 与...
-
中2数学の1次関数です。(3)が...
-
最大値最小値場合分けで質問で...
-
代数の関数による質問です
-
正と負の数値が混在する中で、...
-
ある数を215で割ると7あまり、
-
マルチディスプレイ【2台】に...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
極大値・極小値 を英語で
-
数的推理 整数 問題 4個の自然...
-
小学5年算数。階乗の関数
-
【数学】bとcの範囲から2bーcの...
-
なぜ、最小値がないのかが分か...
-
Ankerのケーブルについて Anker...
-
①とても初歩的なことなのですが...
-
3σと最大値,最小値
-
範囲の始まりと終わりの値の名称
-
マルチディスプレイ【2台】に...
-
aを正の定数とし、f(x)=x²+2(a-...
-
max,minの意味
-
数値データの規格化
-
最大最小
-
レーダーチャートの軸
-
y=-|x-2|+3のグラフで 問題 ...
-
基本情報処理 平成27年春期 ...
-
絶対最大値と絶対最小値って何...
-
(2)の問題を解くときに、最初...
-
最大の定理、最小の定理の証明
おすすめ情報
実際の問題貼っておきます。