数学IIの2直線の交点を交わる直線についての質問です。 参考の[2]についてなのですがk+2=0,k

数学IIの2直線の交点を交わる直線についての質問です。
参考の[2]についてなのですがk+2=0,k-1=0を同時に満たすkの値が存在しないと直線なのですか？
また仮にk+2=0,k-1=0を同時に満たすkの値が存在した時は何になるのですが

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/07/12 15:09

k+2=0,k-1=0を同時に満たすkの値が存在すると仮定すると

k+2=0
↓両辺に-2を加えると
k=-2

k-1=0
↓両辺に1を加えると
k=1
となってk=-2に矛盾するから

k+2=0,k-1=0を同時に満たすkの値は存在しない

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/07/12 19:00

直線の方程式の一般形は、ax+by+c=0 (a≠0、または、b≠0) です。

① a=0、かつ、b≠0 のときは、by+c=0 なので、x軸に平行な直線です。
② a≠0、かつ、b=0 のときは、ax+c=0 なので、y軸に平行な直線です。
③ a≠0、かつ、b≠0 のときは、y=-(a/b)x - (c/b) なので、
傾き -(a/b)、y切片 -(c/b) の直線です。

(k+2)x + (k-1)y - 4k + 1=0

k+2=0 , k-1=0 を同時に満たすkの値が存在しないということは、
k+2≠0、または、k-1≠0 なので直線を表します。

２直線を ax+by+c=0 , a'x+b'y+c'=0 とします。
この2直線の交点を通る直線を
k(ax+by+c)+a'x+b'y+c'=0
と表すと、
(ka+a')x+(kb+b')y+(kc+c')=0
ka+a'=0 かつ kb+b'=0 が成り立つとすると、
a'=-ka かつ b'=-kb より、
a'x+b'y+c'=0 は、-kax - kby+c'=0 となります。

２直線を ax+by+c=0 , -kax - kby+c'=0 は傾きが等しいです。
よって、この2直線は交点を持ちません。
つまり、
２直線 ax+by+c=0 , a'x+b'y+c'=0 が交点を持つときは、
ka+a'=0 かつ kb+b'=0 を同時に満たすkの値は存在しません。