ラプラシアンの２次元極座標について

ラプラシアンを極座標化した式について質問です。
0ではない整数nに対して、
F''(r)+F'(r)/r-(F(r)n^2)/r^2=0の解であり、r>0に対して２回微分可能な関数F(r)は、
r^nとr^(-n)の線形結合でのみ表せることを示したいのですが、どうしてもうまくいきません。
どのようにすればよいのでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/07/24 16:49

Fの特殊解を r^aとして、方程式に代入すると

a²=n² → a=±n
をえる。
したがって、rⁿ, r⁻ⁿ が2つの特殊解であるが一次独立なのでその線形
結合が一般解になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/07/27 20:15