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通信メーカ勤務の会社員です。
会社の資料でデルタ関数δ(t)の横軸周波数δ(ω)が突然示され困っております。

横軸時間δ(t)の説明は多くの資料にグラフや補足説明があり、δ(t)のt=-∞~∞積分が「1」、但しt=0 しか値を持たず、δ(0)=∞ は理解できるのですが、δ(ω)については調べても詳しい説明が見当たりません・・・。

例えば 、δ(t)のフーリエ変換は「1」ですので、ω=-∞~∞でδ(ω)=1と言えるのでしょうか・・・。

とすれば、cos(a・t)(a:任意の値)のフーリエ変換 π(δ(ω-a)+δ(ω+a)) とはどのようなグラフになるのでしょう・・・。

δ(ω)とは一体何なのか、どうかご教示いただきたく宜しくお願いいたします。

A 回答 (9件)

フーリエ変換の定義にはいくつか流儀があります。

よく使われる流儀は
  F(ω) = (1/√(2π)) ∫{-∞〜∞} f(x) exp(-i x ω) dx …(A)
  F(ω) =∫{-∞〜∞} f(x) exp(-i x ω) dx …(B)
  F(ω) =∫{-∞〜∞} f(x) exp(-2π i x ω) dx …(C)
などです。しかし、これらは単位の選び方だけの違いであって、本質的には同じことです。((A)と(C)はフーリエ変換と逆フーリエ変換の対称性が高いというのが利点、(B)は式がシンプルで「おぼえること」が少ないのが利点、(C)はωを周波数だと解釈した時にHzが単位になるのが利点。)

 例えば、(A)を使うとしましょう。すると、f(x)のフーリエ変換がf(ω)になる(F(ω)=f(ω)になる)のは、
(1) f(x) = 0
(2) f(x) = exp(-(x^2)/2)
のどちらかの場合だけです。他の流儀でも((2)の方の係数が多少違うだけで)どっちかであることには違いがない。

 ですから「デルタ関数δ(x)のフーリエ変換がδ(ω) 」だなんて資料を作ったヤツはフーリエ変換の「フ」も分かってないことが明白です。

 そういうヘンテコな資料はさておき、No.4のご指摘の通り、超関数の定義にもいくつかの流儀(generalized function, hyper function, distribution など)があって、これらの違いは結構本質的な違いです。(フーリエ変換とのカラミで考えたいのなら、Laurent Schwartzのdistributionが最適でしょう。)しかしどれも結果において、デルタ関数に関しては違いがない。例えば
  f(ε,x) = (1/ε) exp(-(x^2)/(2(ε^2)))
とか
  f(ε,x) = if |x|<ε then 1/(2ε) else 0
を考えて、
  δ(x) = lim {ε→+0} f(ε,x)
で定義し、そのフーリエ変換も
  F(ε,ω) = (1/√(2π)) ∫{-∞〜∞} f(ε,x) exp(-i x ω) dx
についてlim {ε→+0} F(ε,x)で定義する、という流儀で行くと、
  F(ω) = 1/√(2π)
という定数関数であることがわかります。((B), (C)を使うと右辺の定数が変わりますけれども、定数関数であることには違いない。)
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質問者様の書かれたωと言う変数が何を表しているのかは知りませんが(cf:私の専攻だった物理学では角速度を表す記号としてよく用いられます)、関数の意味から考えてf(t)とf(ω)は同じ形になるはずです。

それから会社の資料に書かれてあったと言うなら「みんな知ってる」と言う事はわざわざ説明したりしないはずだと思います。他にも書かないといけない事がたくさんあるわけですから、少なくとも「大学で習う」と言う事までは省かれていて当然と思われます。
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>ただ、唐突に全く意味の異なる変数名に


>変えられるとやはり違和感があります・・・。

それ以前に通信工学や制御工学やデジタルフィルターでは、
インパルスは
基本の基本の基本のキなので
社内資料にそこまで基本的な解説が有るだけでも驚きです。
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お礼コメントに対してですが、数学系だろうが工学系だろうが関数f(x)の変数を変えても式の形が変わらないのは中学生レベルの常識だと思います。

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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>お礼コメントに対してですが、数学系だろうが工学系だろうが関数f(x)の変数を変えても式の形が変わらないのは中学生レベルの常識だと思います。


常識ですか・・・
ただ確認は必要だと思うのですが・・・

お礼日時:2021/08/06 23:10

私が持っている本に書いてあるデルタ関数の説明は



δ(x)=∞ (x=0)

δ(x)=0 (x≠0)


∫δ(x)dx=1
-∞

となっていたと思います。想像ですがもしも「この程度」の説明が載っていないとすれば、会社の資料なるものは「デルタ関数を知っている」と言う前提で書かれているのではと思います。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>私が持っている本に書いてあるデルタ関数の説明は
δ(x)=∞ (x=0) δ(x)=0 (x≠0) ∞ -∞∫δ(x)dx=1
・・・「デルタ関数を知っている」と言う前提で書かれて
いるのではと思います。



上記は最初の質問に記載したとおり既知なのですが、
周波数軸で唐突にδ(ω)を示され、形を理解する必要に
迫られるとかなり違和感が・・・。

数学系の方はわかりませんが、工学系には
「単にδ(t)の変数をかえただけだよ」という説明は
欲しいところです・・・。

お礼日時:2021/08/06 21:32

デルタ関数の意味ですか... とりあえず、デルタ関数は


名前に反して「関数」ではありません。
実数 t に対して実数 δ(t) が決まるわけではないからです。
関数から実数値への線型写像 f→f(0) を無理やり
積分変換とみなした場合の積分核を「デルタ関数」と呼ぶのですが、
そもそも f→f(0) が積分変換ではないので、デルタ関数は関数ではない
わけです。

そんな関数があると考えると扱いやすいんだけど
実際には関数ではない... という意味で「超関数」と呼んだりもします。
超関数という言葉には複数の意味があるので、
言葉のほうから調べてゆくときには、デルタ関数と関係ある「超関数」なのか
どうか考えながら文献を読む必要があります。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>関数から実数値への線型写像 f→f(0) を無理やり
積分変換とみなした場合の積分核を「デルタ関数」と呼ぶ


変数がtでもωでも変数の違いだけで、上記がデルタ関数の
本質と理解しました。ありがとうございました。

お礼日時:2021/08/06 21:10

いや、独立変数名が違うだけで


全く別物と思い込んでしまう飛躍は
想定外でしょう。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>いや、独立変数名が違うだけで
全く別物と思い込んでしまう飛躍は
想定外でしょう。


ただ、唐突に全く意味の異なる変数名に
変えられるとやはり違和感があります・・・。

お礼日時:2021/08/06 21:04

δ(t)もδ(ω)も全く同じδ関数です。


独立変数は t でもωでもなんでもよいのです。

関数形は、面積が1の、どこまでも極細の一波のパルス(鋭い棘)
という認識で十分使えます。
工学ではインパルスと呼ぶことが多いですね。

>δ(t)のフーリエ変換は「1」ですので、
>ω=-∞~∞でδ(ω)=1と言えるのでしょうか・・・。

δ(ω) は δ(t) のフーリエ変換じゃありません。

>cos(a・t)(a:任意の値)のフーリエ変換 π(δ(ω-a)+δ(ω+a)) とは>どのようなグラフになるのでしょう・・・。

2個のインパルス。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>δ(t)もδ(ω)も全く同じδ関数です。
>独立変数は t でもωでもなんでもよいのです。
>関数形は、面積が1の、どこまでも極細の一波のパルス(鋭い棘)
>という認識で十分使えます。


δ(t)同様に、δ(ω)も ω=-∞~∞積分が「1」、但し、ω=0のみ値を持ち、δ(ω=0)=∞ になる、δ(ω-a)はω=aで同様のインパルスが立つ、と理解しました。

追伸、
何でこんな簡単な説明がどの教科書にも無いのでしょう・・・或は説明が分かり辛いのかも知れませんが、最近こんなケースを見る度に単なる説明不足としか思えてなりません・・・(怒!)

お礼日時:2021/08/06 17:32

専門家ではなく,大学で学んだだけです。

その方が素人同士で分かりやすいかもしれませんので。
 まず,間違ってるけど直感的な定義のひとつは,横軸のωをとって,ω=±ε/2 の幅の部分が 1/ε の高さ一定になる,矩形的な関数を描いてください。面積が1です。このεを0にとる極限がデルタ関数δ(0)だ,というのが嘘の定義です。面積はε→0の極限でも1のまま。ただし,ここでは矩形の関数を考えましたが,面積1だったらどんな関数でもいいか?というとそうでもないらしいんですね。デルタ関数列というのを考えないといけない。
 そして正しい定義は,任意の理想的に滑らかで有界な無限遠点まで定義できる試験関数φ(ω)を用いて
∫_{-∞}^∞ δ(ω-ω0) φ(ω) dω = φ(ω0)
というものです。つかり,ωがω0の関数だけが抽出される。ふるい特性(「ふるい」というのは,砂とか砂糖とか小麦粉をふるうあの網のついたやつね)と呼ばれます。だから,φ(ω)=1 のときが,ご質問文にもあるように,積分したら1ってことになる。物理的には,力積が1の単位衝撃力がこのδ関数で表されますね。Dirac のデルタ関数と呼ばれ,関数ではなく超関数です。英語では distribution と呼ばれます。ある試験関数との積の積分でしか定義できないから,超関数。普通の微分も積分もできない。ただし,ヘビサイド関数の超関数的微係数はデルタ関数で,デルタ関数の微係数は単位モーメント力というか震源のモデルというか,いろんな場面で用いられます。
 実際の定義は,最初に導入したようなある関数列と試験関数の積分の極限を考えて定義しますが,このとき関数列が適切でないと収束しないとかデルタ関数にはならないとか,いろいろ数学的には難しいから,僕は理解不能のまま卒業しました。単位衝撃とか,単位集中荷重とかにこのデルタ関数が使え,材料力学や構造力学で最も重要な考え方は関数の内積つまり仮想仕事の原理なので,常に何かの関数との積の積分でものを論じると便利なことから,この関数との積の積分で定義された超関数は使い勝手がとてもいいわけですね。単位集中モーメントがデルタ関数の微係数で表されます。
 一つの周波数しか持っていない調和関数のスペクトル(プリズムを通した周波数空間の分布)は,その周波数のところにしかピークが来ない。だから調和関数のフーリエ変換がデルタ関数になるとか・・・多分,物理の教科書や本に正確な定義は書いてありますが,例えばグリーン関数で初期値境界値問題の教科書にも,必ず定義が正確に書かれています。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>そして正しい定義は,任意の理想的に滑らかで有界な無限遠点まで定義できる試験関数φ(ω)を用いて∫_{-∞}^∞ δ(ω-ω0) φ(ω) dω = φ(ω0)


δ(t)もδ(ω)も横軸に関係なく同じ「形」を持ち、「ふるい」の為に作られた関数と理解しました。ありがとうございました。

お礼日時:2021/08/06 17:51

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