確率変数、周辺分布について

２変数の確率分布P(X=xi,Y=yj)について、xi, yjはX, Yがとり得るすべての値(1≦i≦m、1≦j≦n)とします。自分が今学んでいる参考書では
P(X=xi,Y=yi)=P(X=xi)×P(Y=yi)の時X, Yは独立であるとしてます。
周辺分布についてなのですが、この参考書を始め多くの解説で、シグマ(j→n)P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)ー☆は独立でなくても成り立つとあるのですが、なぜ☆式は独立でなくても成り立つのかご教授頂きたく質問させて頂きました。

自分が思うに独立でないと成り立たないような気がしており、実際、
シグマ(j→n)P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi,Y=y1)＋P(X=xi,Y=y2)＋…＋P(X=xi,Y=yn)で、独立であれば
右辺=P(X=xi)P(Y=y1)＋P(X=xi)P(Y=y2)＋…＋P(X=xi)P(Y=yn)=P(X=xi){ P(Y=y1)＋P(Y=y2)＋…P(Y=yn)}=P(X=xi)と展開できますが、独立でない場合の☆式の証明が出来ないのではと思っています。

(シグマと書いてますが本来の記号入力しようとしたらなぜか違う文字に変換されてしまうためこのようにしてます…)
何卒よろしくお願いいたしますm(_ _)m

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/09/16 01:03

☆式の証明は…

X=xi　⇔　X=xi ∧ True
　　　⇔　X=xi ∧ (Y=y1 ∨ Y=y2 ∨ … ∨ Y=yn)
　　　⇔　(X=xi ∧ Y=y1) ∨ (X=xi ∧ Y=y2) ∨ … ∨ (X=xi ∧ Y=yn)
かつ
j≠k のとき
(X=xi ∧ Y=yj) ∧ (X=xi ∧ Y=yk)　⇔　X=xi ∧ (Y=yj ∧ Y=yk)
　　　　　　　　　　　　　　　 ⇔　X=xi ∧ False
　　　　　　　　　　　　　　　 ⇔　False
より、
(X=xi ∧ Y=y1), (X=xi ∧ Y=y2), …, (X=xi ∧ Y=yn) は X=xi の類別であって
よって Σ[j=1…n] P(X=xi ∧ Y=yj) = P(X=xi) が成り立つ。

最後の「よって」が解らないという人は、
まず n=2 の場合を示して、それを使って n に関する数学的帰納法を行えばいい。
自分でやってみれ。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
他の皆様もご回答ありがとうございますm(_ _)m
納得できました！
しっかり立式してゴールまで示して下さったありものがたりさんをベストアンサーにさせて頂きました！

お礼日時：2021/09/16 03:13

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/09/16 00:56

どのレベルの話をするのかってところもありそうだけど, ことによってはそもそもそれが

周辺分布の定義
になってたりするよね.

直感的には
そうでなかったらその差はなに?
ってこと.

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/09/16 00:37

確率分布なので

　Σ[j=1→n]P(yj) = 1

なのですよね？

ある特定の xi について、Y として実現可能なすべての状態 y1～yn との同時確率
　P(xi, y1) ～ P(xi, yn)
を足し合わせれば
　P(xi)
になりませんか？
X と Y が独立かどうかにかかわらず、xi と Y の組合せはこれがすべてなのですから。