ある法則に従って、数字が並んでいる。 この数列の20番目の値はいくらか。 1、2、6、13、23、3

ある法則に従って、数字が並んでいる。
この数列の20番目の値はいくらか。

1、2、6、13、23、36…

解答
533

20番目の数
1+1+3（1+2+3+…+18）+18
=20+3 18×19/2=533←

これって何故20番目の数で
←を書いた行がよくわからないのですが、何故上の式からこうなりますか？

No.5 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/10/03 23:15

この数列を{an} とします。

{an} １，２，６，13、23、36、…

数列{an} の隣り合う項の差を項とする数列を{bn} とします。
{bn} １，４、７，10、13、…

a₁=1
a₂=a₁+b₁=1+1=2
a₃=a₁+b₁+b₂=1+1+4=6
a₄=a₁+b₁+b₂+b₃=1+1+4+7=13
a₅=a₁+b₁+b₂+b₃+b₄=1+1+4+7+10=23
a₆=a₁+b₁+b₂+b₃+b₄+b₅=1+1+4+7+10+13=36
…
a₆ の 4+7+10+13 の部分は、
(3×1+1)+(3×2+1)+(3×3+1)+(3×4+1)

これより、
a20=a₁+b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+…+b19
=1+1+(3×1+1)+(3×2+1)+(3×3+1)+(3×4+1)+…+(3×18+1)
=1+1+(3×1+3×2+3×3+3×4+…+3×18)+1×18
=1+1+3(1+2+3+4+…+18)+18
=20+3(1+2+3+4+…+18)

ここで、
S= 1 + 2 + 3 + 4 +…+18 …① とすると、
後ろから足しても和は同じなので、
S=18+17+16+15+…+ 1 …②
①と②で右辺の上下の項を足すとすべて19になるので、
2S=19×18
S=(18×19)/2

したがって、
a20=20+3(18×19)/2=533

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/01 21:22

目を凝らして、数列の右のほうを見つめてみましょう。

列の続きが見えてきますね。
そう！ 1, 2, 6, 13, 23, 36, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ... です。
規則性は明らかですね。「第7項以降は全て0」です。
よって、数列の20番目の値は 0 です。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2021/10/01 16:56

２－１＝１

６－２＝４
１３－６＝７
２３－１３＝１０
３６－２３＝１３
・
・
・
a₂₀－a₁₉=１＋３(k-1)
上から足し合わせて
a₂₀－１＝（１＋４＋７＋１０＋１３＋・・・＋｛１＋3(k-1)｝)
a₂₀＝１＋∑[k=1~19]｛１＋3(k-1)｝
=1+19+3*(19*18)/2
=20+3*19*9
=20+513
=533

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/10/01 15:46

1+1+18=20

1+2+3+…+18=18×19/2
↓両辺に3をかけると
3(1+2+3+…+18)=3×18×19/2

この回答へのお礼

画像もわかりやすくて助かりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2021/10/04 01:02

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/10/01 15:14

＞1、2、6、13、23、36…

これだけかから「規則性」を見つけるなんて至難の業でしょう。
この先のどれだけの「例外規則」が待っているのか分かりませんから。

示された範囲だけで考えれば、相互の「差」を求めてみると
　1→2 ：差は 1
　2→6 ：差は 4
　6→13 ：差は 7
　13→23 ：差は 10
　23→36 ：差は 13
なので、「差」が「初期値が 1 で、あとは3つずつ増えている」とみなせます。

つまり
　a(1) = 1
　a(k+1) - a(k) = 1 + 3(k - 1)　(k ≧ 1)
かな。